トップ› 九州大学› 1974年› 理系第5問

九州大学 1974年理系第5問解説

方針・初手

方程式の解と係数の関係を用いて、$a, b, c$ を $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ の対称式で表すことから始める。

集合 $S$ は $M = \{\alpha, \beta, \gamma, \delta\}$ から相異なる2つの要素を選び、その和をとった集合であり、集合 $P$ は積をとった集合である。

(1) では各集合に含まれる要素と、係数 $b$ がどのように結びつくかに着目する。(2) および (3) では、集合の個々の要素が具体的にどれに対応するかを特定するのではなく、集合のすべての要素の和（あるいは積）といった全体量に注目することで、連立方程式を解いていく。

解法1

方程式 $x^2 - ax + b = 0$ の2つの解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より

$$\begin{cases} \alpha + \beta = a \quad \cdots \text{③} \\ \alpha\beta = b \quad \cdots \text{④} \end{cases}$$

方程式 $x^2 - bx + c = 0$ の2つの解が $\gamma, \delta$ であるから、解と係数の関係より

$$\begin{cases} \gamma + \delta = b \quad \cdots \text{⑤} \\ \gamma\delta = c \quad \cdots \text{⑥} \end{cases}$$

(1)

集合 $S, P$ の要素をそれぞれ具体的に書き下すと、

$$S = \{\alpha+\beta, \gamma+\delta, \alpha+\gamma, \alpha+\delta, \beta+\gamma, \beta+\delta\}$$

$$P = \{\alpha\beta, \gamma\delta, \alpha\gamma, \alpha\delta, \beta\gamma, \beta\delta\}$$

となる。⑤より $b = \gamma+\delta$ であり、これは $S$ の要素である。また、④より $b = \alpha\beta$ であり、これは $P$ の要素である。したがって、$b$ は $S$ と $P$ の共通の要素、すなわち $b \in S \cap P$ を満たす。

与えられた集合 ①、② より、

$$S = \{5, 7, 8, 9, 10, 12\}$$

$$P = \{6, 10, 14, 15, 21, 35\}$$

これらの共通部分は $\{10\}$ のみであるから、

$$b = 10$$

(2)

$S$ の要素を $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ を用いて表すと、

$$S = \{\alpha+\beta, \gamma+\delta, \alpha+\gamma, \alpha+\delta, \beta+\gamma, \beta+\delta\}$$

となる。ここで、$S$ のすべての要素の和を2通りの方法で考える。①より実際の数値の和は、

$$5 + 7 + 8 + 9 + 10 + 12 = 51$$

一方、文字で表した要素の和は、各文字が3回ずつ現れることから、

$$(\alpha+\beta) + (\gamma+\delta) + (\alpha+\gamma) + (\alpha+\delta) + (\beta+\gamma) + (\beta+\delta) = 3(\alpha+\beta+\gamma+\delta)$$

よって、これらが等しいことから、

$$3(\alpha+\beta+\gamma+\delta) = 51$$

$$\alpha+\beta+\gamma+\delta = 17$$

(1)より $\gamma+\delta = b = 10$ であるから、

$$(\alpha+\beta) + 10 = 17$$

$$\alpha+\beta = 7$$

③より $a = \alpha+\beta$ であるから、

$$a = 7$$

(3)

$P$ の要素を $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ を用いて表すと、

$$P = \{\alpha\beta, \gamma\delta, \alpha\gamma, \alpha\delta, \beta\gamma, \beta\delta\}$$

となる。$P$ のすべての要素の和を2通りの方法で考える。②より実際の数値の和は、

$$6 + 10 + 14 + 15 + 21 + 35 = 101$$

一方、文字で表した要素の和を整理すると、

$$\begin{aligned} &\alpha\beta + \gamma\delta + \alpha\gamma + \alpha\delta + \beta\gamma + \beta\delta \\ &= \alpha\beta + \gamma\delta + \alpha(\gamma+\delta) + \beta(\gamma+\delta) \\ &= \alpha\beta + \gamma\delta + (\alpha+\beta)(\gamma+\delta) \end{aligned}$$

となる。これまでの結果より $\alpha\beta = 10$、$\gamma\delta = c$、$\alpha+\beta = 7$、$\gamma+\delta = 10$ であるから、代入して、

$$10 + c + 7 \times 10 = c + 80$$

これらが等しいので、

$$c + 80 = 101$$

$$c = 21$$

解法2

(3)の別解：要素の積に注目する方法

$P$ のすべての要素の積を2通りの方法で考える。②より実際の数値の積は、素因数分解を利用して計算すると、

$$\begin{aligned} &6 \times 10 \times 14 \times 15 \times 21 \times 35 \\ &= (2 \times 3) \times (2 \times 5) \times (2 \times 7) \times (3 \times 5) \times (3 \times 7) \times (5 \times 7) \\ &= 2^3 \times 3^3 \times 5^3 \times 7^3 \\ &= (2 \times 3 \times 5 \times 7)^3 \\ &= 210^3 \end{aligned}$$

一方、文字で表した要素の積は、各文字が3回ずつ掛けられることから、

$$(\alpha\beta)(\gamma\delta)(\alpha\gamma)(\alpha\delta)(\beta\gamma)(\beta\delta) = \alpha^3 \beta^3 \gamma^3 \delta^3 = (\alpha\beta\gamma\delta)^3$$

これらが等しいので、

$$(\alpha\beta\gamma\delta)^3 = 210^3$$

$\alpha, \beta, \gamma, \delta$ は実数を係数とする方程式の解であるため、その積 $c = \gamma\delta$ を含めて $\alpha\beta\gamma\delta$ は実数となる。よって、

$$\alpha\beta\gamma\delta = 210$$

$\alpha\beta = 10$、$\gamma\delta = c$ より、

$$10c = 210$$

$$c = 21$$

解説

解と係数の関係と、基本対称式の考え方を組み合わせた良問である。

集合から要素を取り出して等式を立てようとすると、どの要素がどの数値に対応するのか（例えば $\alpha+\gamma = 8$ なのか $9$ なのか）を決定する必要があるように思えるが、場合分けをすると非常に煩雑になる。

そこで、(2) や (3) のように「集合全体の要素の和（あるいは積）」という対称性を持った全体量に注目することで、個別の要素の対応関係を知らなくても未知数を一気に求めることができる。特に (1) で $b$ が $S$ にも $P$ にも含まれていることに気づけるかどうかが、その後の計算量を大きく左右するポイントである。