北海道大学 1986年 理系 第5問 解説

方針・初手

黒石が隣り合わないように配置するという条件から、まず白石をすべて並べておき、その両端または白石と白石の間の隙間に黒石を配置していく、という典型的な考え方を用いる。

解法1

石の合計は $n$ 個であり、そのうち黒石を $3$ 個使うので、白石は $n-3$ 個である。

黒石どうしが隣り合わないようにするには、まず $n-3$ 個の白石を数直線上に並べる。 白石はすべて区別がつかないため、並べ方は $1$ 通りである。

このとき、並んだ白石の両端および白石と白石の間の「隙間」の数を考える。 白石が $n-3$ 個あるとき、隙間の数は $$(n-3) + 1 = n-2 \text{ （箇所）}$$ となる。

黒石が隣り合わないようにするためには、この $n-2$ 箇所から $3$ 箇所を選び、黒石を $1$ 個ずつ配置すればよい。 問題の条件より $n \geqq 5$ であるから、$n-2 \geqq 3$ となり、$3$ 箇所を選ぶことは常に可能である。

したがって、求める置き方の総数は、異なる $n-2$ 個の場所から $3$ 箇所を選ぶ組み合わせの数に等しく、 $$_{n-2}\mathrm{C}_3 = \frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{3 \cdot 2 \cdot 1}$$ となる。

これを計算して整理すると、 $$\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6} \text{ （通り）}$$ を得る。

解説

「隣り合わないように並べる」という条件を処理する際の定石である「指定されていない要素を先に並べ、その隙間に指定された要素を入れる」という解法を用いている。場合の数の基本として確実にマスターしておきたい典型問題である。

答え

$$ \frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6} \text{ 通り} $$