北海道大学 2005年 理系 第5問 解説

方針・初手

正四面体の頂点を $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ とし、面 $\mathrm{BCD}$ の重心を $\mathrm{H}$ とおく。
正四面体では、$\mathrm{AH}$ は高さであり、外接球の中心 $\mathrm{O}$ はこの直線上にある。
まず正三角形 $\triangle \mathrm{BCD}$ と直角三角形 $\triangle \mathrm{ABH}$ から高さ $\mathrm{AH}$ を辺の長さ $a$ で表し、その後 $\mathrm{OA}=1$ を使って $a$ を決める。

解法1

正四面体の1辺の長さを $a$ とする。

面 $\mathrm{BCD}$ は1辺 $a$ の正三角形で、その重心を $\mathrm{H}$ とすると

$$ \mathrm{BH}=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{a}{\sqrt{3}} $$

である。

また、$\mathrm{AH}$ は面 $\mathrm{BCD}$ に垂直だから、$\triangle \mathrm{ABH}$ は直角三角形である。よって

$$ \mathrm{AH}^2=\mathrm{AB}^2-\mathrm{BH}^2 =a^2-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 =a^2-\frac{a^2}{3} =\frac{2a^2}{3} $$

したがって

$$ \mathrm{AH}=\frac{\sqrt{6}}{3}a $$

となる。

正四面体では、各頂点と反対側の面の重心を結ぶ線分は1点で交わり、その交点が外接球の中心 $\mathrm{O}$ である。
しかもその交点は

$$ \mathrm{AO}:\mathrm{OH}=3:1 $$

に内分する。

いま外接球の半径が $1$ だから

$$ \mathrm{AO}=1 $$

である。よって

$$ \mathrm{AH}=\frac{4}{3}\mathrm{AO}=\frac{4}{3} $$

したがって

$$ \frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{4}{3} $$

より

$$ a=\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3} $$

となる。

解説

正四面体では、「反対側の面の重心へ下ろした線」が高さになることと、外接球の中心がその線上で $3:1$ に内分することが基本である。
あとは正三角形の重心の性質と三平方の定理を組み合わせればよい。

答え

$$ \frac{2\sqrt{6}}{3} $$