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北海道大学 2020年理系第1問解説

方針・初手

(1) 与えられた3辺の長さを用いて、$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ の両辺の大きさを2乗することで内積を求める。

(2) 点 $P$ は直線 $AO$ と外接円の交点であるから、線分 $AP$ は三角形 $ABC$ の外接円の直径となる。円周角の定理より、直径に対する円周角は直角であるため、$\angle{ABP} = 90^\circ$ および $\angle{ACP} = 90^\circ$ が成り立つ。これらをベクトルの内積が $0$ になる条件として立式する。

(3) 点 $D$ は直線 $AP$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{AP}$ と表せる。また、点 $D$ は直線 $BC$ 上にあるため、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の係数の和が $1$ になることを利用して $k$ の値を定める。最後に、得られた $\overrightarrow{AD}$ の大きさを計算する。

解法1

(1)

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ であるから、両辺の大きさを2乗すると次のようになる。

$$ |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}|^2 $$

$$ |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 - 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + |\overrightarrow{AB}|^2 $$

与えられた条件 $|\overrightarrow{AB}| = 1$、$|\overrightarrow{AC}| = 2$、$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{6}$ を代入する。

$$ (\sqrt{6})^2 = 2^2 - 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + 1^2 $$

$$ 6 = 4 - 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + 1 $$

$$ 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -1 $$

よって、内積は次のように求まる。

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -\frac{1}{2} $$

(2)

線分 $AP$ は外接円の直径であるから、$\angle{ABP} = 90^\circ$ および $\angle{ACP} = 90^\circ$ が成り立つ。したがって、$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BP}$ かつ $\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{CP}$ であるから、以下の内積の条件が得られる。

$$ \begin{cases} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BP} = 0 \\ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CP} = 0 \end{cases} $$

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}$ に $\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ を代入して、第1の条件を整理する。

$$ \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) = 0 $$

$$ \overrightarrow{AB}\cdot(s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = 0 $$

$$ (s-1)|\overrightarrow{AB}|^2 + t\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 0 $$

$|\overrightarrow{AB}| = 1$、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -\frac{1}{2}$ を代入する。

$$ (s-1)\cdot 1^2 + t\left(-\frac{1}{2}\right) = 0 $$

$$ 2s - t = 2 \quad \cdots (A) $$

同様に、$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}$ を用いて第2の条件を整理する。

$$ \overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = 0 $$

$$ \overrightarrow{AC}\cdot(s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC}) = 0 $$

$$ s\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + (t-1)|\overrightarrow{AC}|^2 = 0 $$

$|\overrightarrow{AC}| = 2$ を代入する。

$$ s\left(-\frac{1}{2}\right) + (t-1)\cdot 2^2 = 0 $$

$$ -s + 8(t-1) = 0 $$

$$ -s + 8t = 8 \quad \cdots (B) $$

式 $(A), (B)$ を連立して解く。$(A)$ より $t = 2s - 2$ であるから、これを $(B)$ に代入する。

$$ -s + 8(2s - 2) = 8 $$

$$ 15s = 24 $$

$$ s = \frac{24}{15} = \frac{8}{5} $$

これを $t = 2s - 2$ に代入する。

$$ t = 2\left(\frac{8}{5}\right) - 2 = \frac{16}{5} - \frac{10}{5} = \frac{6}{5} $$

したがって、$s = \frac{8}{5}$、$t = \frac{6}{5}$ である。

(3)

点 $D$ は直線 $AP$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{AP}$ と表すことができる。(2) の結果より、

$$ \overrightarrow{AD} = k\left(\frac{8}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{6}{5}\overrightarrow{AC}\right) = \frac{8k}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{6k}{5}\overrightarrow{AC} $$

点 $D$ は直線 $BC$ 上にもあるため、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の係数の和は $1$ になる。

$$ \frac{8k}{5} + \frac{6k}{5} = 1 $$

$$ \frac{14k}{5} = 1 $$

$$ k = \frac{5}{14} $$

これより、$\overrightarrow{AD}$ は次のように表される。

$$ \overrightarrow{AD} = \frac{5}{14} \cdot \frac{8}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{14} \cdot \frac{6}{5}\overrightarrow{AC} = \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} $$

線分 $AD$ の長さを求めるため、両辺の大きさを2乗する。

$$ |\overrightarrow{AD}|^2 = \left|\frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AC}\right|^2 $$

$$ |\overrightarrow{AD}|^2 = \frac{1}{49}|4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}|^2 $$

$$ |\overrightarrow{AD}|^2 = \frac{1}{49}(16|\overrightarrow{AB}|^2 + 24\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + 9|\overrightarrow{AC}|^2) $$

各値を代入して計算する。

$$ |\overrightarrow{AD}|^2 = \frac{1}{49}\left\{16\cdot 1^2 + 24\left(-\frac{1}{2}\right) + 9\cdot 2^2\right\} $$

$$ |\overrightarrow{AD}|^2 = \frac{1}{49}(16 - 12 + 36) = \frac{40}{49} $$

$|\overrightarrow{AD}| > 0$ であるから、平方根をとる。

$$ |\overrightarrow{AD}| = \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{49}} = \frac{2\sqrt{10}}{7} $$

解法2

(2) の別解

点 $O$ は三角形 $ABC$ の外心であるため、辺 $AB$ の中点を $M$ とすると、外心から各辺に下ろした垂線は辺を2等分する。よって $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{MO}$ となり、$\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AM}) = 0$ が成り立つ。これより以下の性質が得られる。

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2 = \frac{1}{2} $$

同様に、辺 $AC$ についても以下の関係が成り立つ。

$$ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|^2 = 2 $$

線分 $AP$ は外接円の直径であるから、点 $O$ は線分 $AP$ の中点であり、$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AO}$ である。したがって、$\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ の内積は次のようになる。

$$ \begin{cases} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AO} = 1 \\ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AO} = 4 \end{cases} $$

$\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ をこれらの式に代入する。

$$ \overrightarrow{AB}\cdot(s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}) = s|\overrightarrow{AB}|^2 + t\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 1 $$

$$ s - \frac{1}{2}t = 1 \implies 2s - t = 2 \quad \cdots (C) $$

$$ \overrightarrow{AC}\cdot(s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}) = s\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + t|\overrightarrow{AC}|^2 = 4 $$

$$ -\frac{1}{2}s + 4t = 4 \implies -s + 8t = 8 \quad \cdots (D) $$

$(C), (D)$ は解法1の $(A), (B)$ と同一の連立方程式である。これを解いて $s = \frac{8}{5}, t = \frac{6}{5}$ を得る。

解説

平面ベクトルにおいて、外心や円が絡む問題の典型的な処理を問う問題である。 (2) では、「円の直径に対する円周角は直角である」という図形的性質をベクトルの内積 $=0$ に翻訳する解法1が最も自然な発想である。一方、解法2で用いた外心ベクトルに対する内積の性質 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2$ は、外心の定義そのものから直ちに従う非常に強力な関係式であり、立式までの計算量を大幅に削減できるため、ぜひ習得しておきたい。 (3) は共線条件を用いてベクトルを表現し、長さを計算する標準的な問題であり、確実に取り切りたい。