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北海道大学 2023年文系第2問解説

方針・初手

(1) については、直線 $OP$ が $\angle AOB$ の2等分線であることから、三角形の内角の2等分線の定理を用いて点 $P$ が辺 $AB$ をどの比に内分するかを求める。線分の長さを計算する際は、ベクトルの内積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ の値が不可欠になるため、あらかじめ $|\overrightarrow{AB}|^2$ の展開式から内積を求めておく。

(2) については、$\triangle OBP$ に注目し、頂点 $B$ における外角の2等分線と直線 $OP$ の交点が $Q$ である条件から、三角形の外角の2等分線の定理を適用する。これにより、点 $Q$ が線分 $OP$ をどの比に外分するかを突き止める。

解法1

(1)

直線 $OP$ は $\angle AOB$ の2等分線であるから、内角の2等分線の定理より、点 $P$ は辺 $AB$ を $OA : OB$ の比に内分する。与えられた長さ $OA = 3$, $OB = 5$ より、点 $P$ は辺 $AB$ を $3 : 5$ に内分する。

したがって、ベクトルの内分点の公式より、以下の式が成り立つ。

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{5\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{3+5} = \frac{5}{8}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{8}\overrightarrow{OB} $$

次に、$|\overrightarrow{OP}|$ を求めるために、まず内積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ を計算する。 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ であるから、両辺の大きさを2乗すると次のように展開できる。

$$ |\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{OB}|^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OA}|^2 $$

ここに $|\overrightarrow{OA}| = 3$, $|\overrightarrow{OB}| = 5$, $|\overrightarrow{AB}| = 7$ を代入する。

$$ 7^2 = 5^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 3^2 $$

$$ 49 = 25 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 9 $$

$$ 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 34 - 49 = -15 $$

$$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -\frac{15}{2} $$

これを用いて $|\overrightarrow{OP}|^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OP}|^2 &= \left| \frac{5}{8}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{8}\overrightarrow{OB} \right|^2 \\ &= \frac{1}{64} \left( 25|\overrightarrow{OA}|^2 + 30\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 9|\overrightarrow{OB}|^2 \right) \\ &= \frac{1}{64} \left( 25 \cdot 3^2 + 30 \cdot \left( -\frac{15}{2} \right) + 9 \cdot 5^2 \right) \\ &= \frac{1}{64} (225 - 225 + 225) \\ &= \frac{225}{64} \end{aligned} $$

$|\overrightarrow{OP}| > 0$ であるから、平方根をとって大きさを求める。

$$ |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{\frac{225}{64}} = \frac{15}{8} $$

(2)

$\triangle OBP$ において、直線 $BQ$ は頂点 $B$ における外角の2等分線である。外角の2等分線の定理より、点 $Q$ は直線 $OP$ 上にあって線分 $OP$ を $OB : BP$ の比に外分する点となる。

ここで、$OB = 5$ である。また、(1) より点 $P$ は線分 $AB$ を $3 : 5$ に内分する点であるため、線分 $BP$ の長さは次のように求まる。

$$ BP = \frac{5}{3+5} AB = \frac{5}{8} \cdot 7 = \frac{35}{8} $$

ゆえに、外分の比は次のようになる。

$$ OB : BP = 5 : \frac{35}{8} = 40 : 35 = 8 : 7 $$

よって、点 $Q$ は線分 $OP$ を $8 : 7$ に外分する点である。これを位置ベクトルで表すと以下のようになる。

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{-7\overrightarrow{OP} + 8\overrightarrow{OP}}{8-7} $$

（※注：原点を $O$ と考えると点 $O$ 自身の位置ベクトルは $\overrightarrow{0}$ であるため、$\frac{-7\cdot \overrightarrow{0} + 8\overrightarrow{OP}}{8-7} = 8\overrightarrow{OP}$ となる）

$$ \overrightarrow{OQ} = 8\overrightarrow{OP} $$

これに (1) で求めた $\overrightarrow{OP}$ を代入する。

$$ \overrightarrow{OQ} = 8 \left( \frac{5}{8}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{8}\overrightarrow{OB} \right) = 5\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} $$

また、$|\overrightarrow{OQ}|$ はベクトルの実数倍の絶対値として求めることができる。

$$ |\overrightarrow{OQ}| = 8|\overrightarrow{OP}| = 8 \cdot \frac{15}{8} = 15 $$

解説

平面ベクトルと図形の性質（角の2等分線の定理）を組み合わせた標準的な問題である。 (1) では内角の2等分線の定理（ $AP:PB = OA:OB$ ）を用い、(2) では外角の2等分線の定理（ $OQ:PQ = OB:BP$ ）を用いるという綺麗な構成になっている。外角の2等分線の定理は忘れがちなので、どの三角形に注目して定理を適用しているのかを正確に把握することが重要である。なお、図形的な背景として、点 $Q$ は $\triangle OAB$ の辺 $AB$ に関する「傍心」となっている。この知識があれば、傍心の位置ベクトルの公式から検算を行うことも可能である。