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北海道大学 1973年理系第3問解説

方針・初手

(1) 三角形の3辺の長さが与えられているため、ベクトルの大きさの平方の展開公式、あるいは余弦定理を利用して内積を計算する。

(2) 外心が「各辺の垂直二等分線上の点」であることをベクトルで表現する。具体的には、辺の中点から外心へ向かうベクトルと、その辺のベクトルが直交することを利用し、内積に関する2つの条件式を導く。

解法1

(1)

与えられた条件より、$|\overrightarrow{AB}| = 6$、$|\overrightarrow{AC}| = 8$、$|\overrightarrow{BC}| = 2\sqrt{13}$ である。

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ であるから、両辺の大きさの2乗をとると、

$$ |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}|^2 $$

展開して整理すると、

$$ |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + |\overrightarrow{AB}|^2 $$

これに各ベクトルの大きさを代入する。

$$ (2\sqrt{13})^2 = 8^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + 6^2 $$

$$ 52 = 64 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + 36 $$

$$ 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 100 - 52 = 48 $$

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 24 $$

したがって、求める内積は $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 24$ である。

(2)

外心 $O$ は辺 $AB$ の垂直二等分線上にある。辺 $AB$ の中点を $M$ とすると、$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{MO}$ であるから、

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MO} = 0 $$

ここで、$\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AO} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ であるから、

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \left( \overrightarrow{AO} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \right) = 0 $$

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} - \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2 = 0 $$

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \times 6^2 = 18 $$

同様に、外心 $O$ は辺 $AC$ の垂直二等分線上にもある。辺 $AC$ の中点を $N$ とすると、$\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{NO}$ より、

$$ \overrightarrow{AC} \cdot \left( \overrightarrow{AO} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \right) = 0 $$

$$ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|^2 = \frac{1}{2} \times 8^2 = 32 $$

条件より $\overrightarrow{AO} = l\overrightarrow{AB} + m\overrightarrow{AC}$ である。これを求めた2つの内積の式にそれぞれ代入する。

まず $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = 18$ について、

$$ \overrightarrow{AB} \cdot (l\overrightarrow{AB} + m\overrightarrow{AC}) = 18 $$

$$ l|\overrightarrow{AB}|^2 + m(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) = 18 $$

$|\overrightarrow{AB}| = 6$、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 24$ を代入して、

$$ 36l + 24m = 18 $$

両辺を6で割って整理すると、

$$ 6l + 4m = 3 \quad \cdots \text{①} $$

次に $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AO} = 32$ について、

$$ \overrightarrow{AC} \cdot (l\overrightarrow{AB} + m\overrightarrow{AC}) = 32 $$

$$ l(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) + m|\overrightarrow{AC}|^2 = 32 $$

$|\overrightarrow{AC}| = 8$、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 24$ を代入して、

$$ 24l + 64m = 32 $$

両辺を8で割って整理すると、

$$ 3l + 8m = 4 \quad \cdots \text{②} $$

①、②の連立方程式を解く。① $\times 2 - $ ② より、

$$ (12l + 8m) - (3l + 8m) = 6 - 4 $$

$$ 9l = 2 $$

$$ l = \frac{2}{9} $$

これを②に代入して、

$$ 3 \cdot \frac{2}{9} + 8m = 4 $$

$$ \frac{2}{3} + 8m = 4 $$

$$ 8m = \frac{10}{3} $$

$$ m = \frac{5}{12} $$

解法2

(2) について、図形を座標平面上に設定して解く別解を示す。

点 $A$ を原点 $(0,0)$ とし、半直線 $AB$ を $x$ 軸の正の向きにとる。$|\overrightarrow{AB}| = 6$ より、点 $B$ の座標は $(6, 0)$ となる。

点 $C$ の座標を $(x, y)$ とする。三角形をなすため $y \neq 0$ であり、対称性から $y > 0$ として一般性を失わない。

$|\overrightarrow{AC}| = 8$、$|\overrightarrow{BC}| = 2\sqrt{13}$ より、以下の連立方程式が成り立つ。

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 8^2 = 64 \\ (x - 6)^2 + y^2 = (2\sqrt{13})^2 = 52 \end{cases} $$

第2式を展開し、第1式を用いると、

$$ x^2 - 12x + 36 + y^2 = 52 $$

$$ (x^2 + y^2) - 12x = 16 $$

$$ 64 - 12x = 16 $$

$$ 12x = 48 $$

$$ x = 4 $$

これを第1式に代入して、

$$ 4^2 + y^2 = 64 $$

$$ y^2 = 48 $$

$y > 0$ より $y = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ となる。よって、各点の座標は $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(4, 4\sqrt{3})$ である。

外心 $O$ の座標を $(X, Y)$ とおく。外心は辺 $AB$、$AC$ の垂直二等分線の交点である。

辺 $AB$ の垂直二等分線は、線分 $AB$ の中点 $(3, 0)$ を通り $x$ 軸に垂直な直線なので、

$$ X = 3 $$

辺 $AC$ の中点は $(2, 2\sqrt{3})$ であり、直線 $AC$ の傾きは $\frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ である。したがって、辺 $AC$ の垂直二等分線の傾きは $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる。この直線の方程式は、

$$ y - 2\sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 2) $$

この直線上の点 $O$ の $x$ 座標は $X=3$ であるから、これを代入して $Y$ を求める。

$$ Y - 2\sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(3 - 2) $$

$$ Y = 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} $$

よって、外心 $O$ の座標は $\left( 3, \frac{5\sqrt{3}}{3} \right)$ であり、成分表示で $\overrightarrow{AO} = \left( 3, \frac{5\sqrt{3}}{3} \right)$ となる。

また、$\overrightarrow{AB} = (6, 0)$、$\overrightarrow{AC} = (4, 4\sqrt{3})$ である。条件 $\overrightarrow{AO} = l\overrightarrow{AB} + m\overrightarrow{AC}$ より、

$$ \left( 3, \frac{5\sqrt{3}}{3} \right) = l(6, 0) + m(4, 4\sqrt{3}) $$

$$ \left( 3, \frac{5\sqrt{3}}{3} \right) = (6l + 4m, 4\sqrt{3}m) $$

各成分を比較して、

$$ \begin{cases} 6l + 4m = 3 \\ 4\sqrt{3}m = \frac{5\sqrt{3}}{3} \end{cases} $$

第2式より、

$$ m = \frac{5\sqrt{3}}{3 \times 4\sqrt{3}} = \frac{5}{12} $$

これを第1式に代入して、

$$ 6l + 4 \left( \frac{5}{12} \right) = 3 $$

$$ 6l + \frac{5}{3} = 3 $$

$$ 6l = \frac{4}{3} $$

$$ l = \frac{2}{9} $$

解説

三角形の3辺の長さから内積を求め、それを利用して外心の位置ベクトルを決定する、平面ベクトルの典型問題である。

(1) はベクトルの大きさの2乗の展開を利用するのが最も簡明である。余弦定理を利用して $\cos A$ を求めてから内積の定義に従って計算してもよいが、実質的な計算プロセスは変わらない。

(2) 外心に関するベクトルの問題では、「外心は各辺の垂直二等分線の交点である」という図形的性質を内積の条件式（$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2$ など）に翻訳するのが定石である。この性質を用いて正確に立式できれば、あとは未知数 $l, m$ についての連立1次方程式を解くだけの平易な計算に帰着する。解法2のように座標を設定する方法も、視覚的に状況を把握しやすく、機械的な代数処理で確実に答えに辿り着けるため有効な手段である。