京都大学 1969年 文系 第5問 解説

方針・初手

各学年（1年生から6年生までの6学年と想定される）から代表を1人ずつ選ぶ。このとき、特定の学年から誰が選ばれるかの組み合わせは、各学年100人ずつであることから $100$ 通りずつ存在する。

次に、選ばれた6人の代表に対して、どの学年の代表が何色の旗を持つかを割り当てる。これは「同じものを含む順列」の考え方を利用する。

「代表の出し方が異なれば、異なったもち方である」という問題文の注釈に従い、「代表の選び方」と「旗の配分」を掛け合わせて総数を求める。

解法1

1. 代表の選び方

各学年の生徒数は100人であり、各学年から1人ずつ代表を出す。学年は通常1年から6年までの6区分であるから、代表の選び方の総数は

$$ 100 \times 100 \times 100 \times 100 \times 100 \times 100 = 100^6 $$

通りである。

2. 旗の持ち方の割り当て

選出された6人の代表（第1学年〜第6学年の代表）に対して、赤旗2枚、白旗2枚、青旗2枚を配分する方法を考える。これは、6つの異なる位置（各学年の席）に、重複する3種類の色を2つずつ並べる順列の数に等しい。 その総数は

$$ \frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{8} = 90 $$

通りである。

3. 総数の計算

「代表の出し方」と「旗の配分」は独立に決まるため、求める数はこれらの積になる。

$$ 100^6 \times 90 = 90 \times (10^2)^6 = 90 \times 10^{12} = 9 \times 10^{13} $$

したがって、求める数は $90,000,000,000,000$（90兆）通りである。

解法2

まず、どの学年の代表がどの色の旗を持つかのパターン（色の組み合わせ）を先に決定し、その後に各色に割り当てられた学年で誰を代表にするかを選ぶ。

(i) 旗の色の割り当て 6つの学年に対して、どの学年が赤・白・青のどの色を担当するかを決める組み合わせは、

$$ {}_6 \mathrm{C}_{2} \times {}_4 \mathrm{C}_{2} \times {}_2 \mathrm{C}_{2} = 15 \times 6 \times 1 = 90 \text{ 通り} $$

(ii) 代表者の選定 各学年において、代表者の選び方は100通りある。これが6学年分あるため、

$$ 100^6 \text{ 通り} $$

これらは同時に起こるため、求める総数は

$$ 90 \times 100^6 = 9 \times 10^{13} \text{ 通り} $$

解説

「代表の出し方が異なれば、異なったもち方である」という条件を含めて数える。

6人の代表を固定したときの旗の配り方は $90$ 通りであるが、本問ではそこに各学年から誰が代表になるかも掛け合わせる必要がある。

答え

$9 \times 10^{13}$ 通り （または $90,000,000,000,000$ 通り）