京都大学 1994年 文系 第3問 解説

方針・初手

点 $P$ が2つの球面 $S_1, S_2$ 上にあるという条件から、$a, b, c$ に関する2つの等式を立てる。 また、球面 $S_0$ と平面が交わってできる円の半径が与えられていることから、球面 $S_0$ の中心 $P$ から平面までの距離を三平方の定理を用いて求める。その後、点と平面の距離の公式を利用して3つ目の等式を導き、これらを連立方程式として解く。

解法1

点 $P(a, b, c)$ は球面 $S_1$ 上にあるから、

$$ a^2 + b^2 + (c - 1)^2 = 1 \quad \cdots \text{①} $$

同様に、点 $P$ は球面 $S_2$ 上にもあるから、

$$ a^2 + (b - 1)^2 + c^2 = 1 \quad \cdots \text{②} $$

①、②を展開して整理すると、

$$ a^2 + b^2 + c^2 - 2c = 0 \quad \cdots \text{①}' $$

$$ a^2 + b^2 + c^2 - 2b = 0 \quad \cdots \text{②}' $$

$\text{①}' - \text{②}'$ より、

$$ -2c + 2b = 0 \iff b = c \quad \cdots \text{③} $$

次に、球面 $S_0$ と平面 $x - z = 0$ の交わりの円について考える。 球面 $S_0$ は点 $P(a, b, c)$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}$ の球面である。交わってできる円の半径は $\frac{\sqrt{2}}{4}$ であるから、$S_0$ の中心 $P(a, b, c)$ から平面 $x - z = 0$ に下ろした垂線の長さを $d$ とすると、三平方の定理より、

$$ d^2 + \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 $$

$$ d^2 + \frac{2}{16} = \frac{1}{4} $$

$$ d^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8} $$

$d > 0$ より、$d = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ である。

一方、点と平面の距離の公式より、点 $P(a, b, c)$ と平面 $x - z = 0$ の距離 $d$ は、

$$ d = \frac{|a - c|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|a - c|}{\sqrt{2}} $$

と表される。したがって、

$$ \frac{|a - c|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \iff |a - c| = \frac{1}{2} $$

絶対値を外すと、

$$ a - c = \pm \frac{1}{2} \iff a = c \pm \frac{1}{2} \quad \cdots \text{④} $$

③を $\text{①}'$ に代入すると、

$$ a^2 + 2c^2 - 2c = 0 \quad \cdots \text{⑤} $$

④を⑤に代入して、$c$ についての2次方程式を解く。

(i)

$a = c + \frac{1}{2}$ のとき

$$ \left( c + \frac{1}{2} \right)^2 + 2c^2 - 2c = 0 $$

$$ c^2 + c + \frac{1}{4} + 2c^2 - 2c = 0 $$

$$ 3c^2 - c + \frac{1}{4} = 0 \iff 12c^2 - 4c + 1 = 0 $$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$\frac{D}{4} = (-2)^2 - 12 \cdot 1 = -8 < 0$ となり、実数解をもたない。したがって、不適である。

(ii)

$a = c - \frac{1}{2}$ のとき

$$ \left( c - \frac{1}{2} \right)^2 + 2c^2 - 2c = 0 $$

$$ c^2 - c + \frac{1}{4} + 2c^2 - 2c = 0 $$

$$ 3c^2 - 3c + \frac{1}{4} = 0 \iff 12c^2 - 12c + 1 = 0 $$

これを解いて、

$$ c = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 1}}{12} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{12} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{12} = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{6} $$

このとき、③より $b = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{6}$ であり、$a$ は次のように求まる。

$$ a = c - \frac{1}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{6} - \frac{3}{6} = \frac{\pm \sqrt{6}}{6} \quad \text{（複号同順）} $$

以上より、求める $a, b, c$ の値の組は2通りとなる。

解説

空間図形における球と平面の交わりに関する標準的な代数・幾何の融合問題である。 「球面と平面が交わってできる円」という図形的条件を、「球面の中心から平面までの距離」に変換するプロセスは極めて頻出である。三平方の定理を用いて距離を求めた後、点と平面の距離の公式と結びつけることで、$a, b, c$ についての連立方程式に帰着させる。連立方程式の処理において、2つの球の式から差をとって $b=c$ を導く工夫ができると、計算量を大幅に減らすことができる。

答え

$$ (a, b, c) = \left( \frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{3 + \sqrt{6}}{6}, \frac{3 + \sqrt{6}}{6} \right), \left( -\frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{3 - \sqrt{6}}{6}, \frac{3 - \sqrt{6}}{6} \right) $$