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京都大学 1994年文系第4問解説

方針・初手

$n$ 回目の試行と $n-1$ 回目の試行の繋がり（推移）に注目し、確率の漸化式を立てる。 $Y_n = Y_{n-1} + X_n$ であることから、$Y_{n-1}$ を $7$ で割った余りで状態を分類する。さいころの目は $1$ から $6$ までであり、$7$ は出ないという性質が、状態遷移をシンプルにする鍵となる。（2）は（1）で求めた2項間漸化式を定石通りに解く。

解法1

(1)

$Y_n = Y_{n-1} + X_n$ である。 $Y_n$ が $7$ で割り切れる、すなわち $Y_n \equiv 0 \pmod 7$ となるための条件を考える。

$$ Y_n \equiv 0 \pmod 7 \iff Y_{n-1} + X_n \equiv 0 \pmod 7 \iff Y_{n-1} \equiv -X_n \pmod 7 $$

$n$ 回目に出るさいころの目 $X_n$ は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のいずれかの値をとる。したがって、$-X_n \pmod 7$ は $6, 5, 4, 3, 2, 1$ のいずれかの値をとる。すなわち、$Y_{n-1}$ が $7$ で割り切れない場合（$7$ で割った余りが $1$ から $6$ のいずれかである場合）、$Y_{n-1} + X_n$ が $7$ の倍数となるような $X_n$ がただ $1$ つ存在する。一方、$Y_{n-1}$ が $7$ で割り切れる場合、$-X_n \equiv 0 \pmod 7$ となる必要があるが、$1 \leqq X_n \leqq 6$ であるためこれを満たす $X_n$ は存在しない。

$n \geqq 2$ のとき、$n-1$ 回目までの目の和 $Y_{n-1}$ が $7$ で割り切れる確率は $p_{n-1}$、$7$ で割り切れない確率は $1 - p_{n-1}$ である。 $Y_n$ が $7$ で割り切れるのは、$Y_{n-1}$ が $7$ で割り切れず、かつ $n$ 回目に和が $7$ の倍数となる特定の目（ただ $1$ 通り）が出る場合のみであるから、

$$ p_n = (1 - p_{n-1}) \times \frac{1}{6} = -\frac{1}{6} p_{n-1} + \frac{1}{6} $$

(2)

$1$ 回目のさいころの目 $X_1$ は $1$ から $6$ のいずれかであるから、$Y_1 = X_1$ が $7$ で割り切れることはない。よって、$p_1 = 0$ である。

（1）で求めた漸化式 $p_n = -\frac{1}{6} p_{n-1} + \frac{1}{6}$ の特性方程式 $\alpha = -\frac{1}{6}\alpha + \frac{1}{6}$ を解くと $\alpha = \frac{1}{7}$ となる。これを用いて漸化式を変形すると、

$$ p_n - \frac{1}{7} = -\frac{1}{6} \left( p_{n-1} - \frac{1}{7} \right) $$

となる。これは、数列 $\left\{ p_n - \frac{1}{7} \right\}$ が初項 $p_1 - \frac{1}{7} = 0 - \frac{1}{7} = -\frac{1}{7}$、公比 $-\frac{1}{6}$ の等比数列であることを示している。したがって、一般項は以下のように求められる。

$$ p_n - \frac{1}{7} = -\frac{1}{7} \left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1} $$

$$ p_n = \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1} = \frac{1}{7} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1} \right\} $$

これは $n=1$ のときも $p_1 = \frac{1}{7} (1 - 1) = 0$ となり成り立つ。

解説

確率漸化式の極めて標準的な問題である。「$n-1$ 回目の状態から $n$ 回目の状態への推移」を考えるのが基本である。本問のように、法が $7$（素数かつ「さいころの目の最大の数＋1」）である場合、$n-1$ 回目に $7$ の倍数になっていなければ、次の一手で必ず $7$ の倍数にすることができる（必要な目が $1/6$ の確率で出ればよい）という綺麗な構造になっている。この対称性に気付けば、余りが $1$ から $6$ の場合を細かく分けることなく、簡潔に立式できる。漸化式の変形や等比数列の一般項の計算は定石通りである。初項 $p_1=0$ の確認を忘れないようにしたい。