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京都大学 1974年理系第3問解説

方針・初手

小球が左側のくぼみに留まるためには、容器の断面を表す関数が左側に極小値（くぼみの底）と極大値（右へ転がり落ちるのを防ぐ山）を持つ必要がある。 $q$ の値を大きくしていくと、やがてこの極大値と極小値が一致して「くぼみ」が消滅する。このとき小球は右側へ転落するため、左側の極小値が存在しなくなる限界の $q$ の値を微分を用いて調べる。

解法1

容器の断面を表す曲線を $f(x) = x^4 - 6p^2x^2 - 8q^3x$ とおく。 $f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ f'(x) = 4x^3 - 12p^2x - 8q^3 = 4(x^3 - 3p^2x - 2q^3) $$

となる。ここで、かっこ内の関数を $g(x) = x^3 - 3p^2x - 2q^3$ とおく。左側にくぼみが存在し、かつ右側に転落しないための壁がある（すなわち $f(x)$ が極大値と複数の極小値を持つ）ためには、方程式 $f'(x) = 0$ すなわち $g(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つ必要がある。 $g(x)$ を微分すると、

$$ g'(x) = 3x^2 - 3p^2 = 3(x+p)(x-p) $$

となる。$p > 0$ であるから、$g(x)$ は $x = -p$ で極大、 $x = p$ で極小となる。 3次方程式 $g(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つ条件は、（極大値）$\times$（極小値）$< 0$ となることである。それぞれの極値を計算すると、

$$ g(-p) = (-p)^3 - 3p^2(-p) - 2q^3 = 2p^3 - 2q^3 $$

$$ g(p) = p^3 - 3p^2(p) - 2q^3 = -2p^3 - 2q^3 = -2(p^3 + q^3) $$

となる。問題の条件 $p > 0, q \geqq 0$ より、$g(p) = -2(p^3 + q^3) < 0$ は常に成り立つ。したがって、$g(x) = 0$ が異なる3実数解を持つための条件は $g(-p) > 0$ であり、

$$ 2p^3 - 2q^3 > 0 $$

$$ q^3 < p^3 $$

$p > 0, q \geqq 0$ より、この条件は $q < p$ となる。 $q < p$ のとき、グラフには左側のくぼみ（極小点）と右側の壁（極大点）が存在するため、小球はその底に留まる。 $q$ の値をだんだん大きくしていくと、$q = p$ となった瞬間に $g(-p) = 0$ となり、$x = -p$ における極大値と極小値が一致する。このとき導関数は $f'(x) = 4(x+p)^2(x-2p)$ と因数分解でき、$x = -p$ の前後で $f'(x)$ の符号は負のまま変化しない。よって $f(x)$ は $x = -p$ で極値をもたず、単調減少の途中にある点となるため、左側のくぼみは消滅する。くぼみが消滅すると、小球は支えを失い、唯一の極小点である右側のくぼみ（$x = 2p$）に向かって転落する。したがって、小球が転落する限界の $q$ の値は $p$ である。