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京都大学 2019年文系第3問解説

方針・初手

$x^2$ の係数 $a$ の符号によって左辺の関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ のグラフの概形が大きく変わるため、$a < 0$、$a = 0$、$a > 0$ の3つの場合に分けて、題意を満たす条件を調べます。

また、「すべての $b$ に対して、ある $x$ が〜」という論理構造に着目し、この命題の「否定」を考えて、それが成り立たないような $a,\ c$ の条件を求めるアプローチも非常に見通しが良くなります。

$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおく。$a$ の値によって場合分けを行う。

(i) $a < 0$ のとき

$y = f(x)$ のグラフは上に凸の放物線である。

このとき、任意の実数 $b,\ c$ に対して $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\infty$ となるため、$f(x) < 0$ となる実数 $x$ は必ず存在する。

よって、$a < 0$ のときは、すべての実数 $b$ に対して命題が成立し、$c$ は任意の実数でよい。

(ii) $a = 0$ のとき

$f(x) = bx + c$ となる。

すべての実数 $b$ に対して「ある実数 $x$ が $bx + c < 0$ を満たす」ための条件を考える。

$b = 0$ のとき、$f(x) = c$ となるため、ある実数 $x$ に対して $c < 0$ が成り立つ必要がある。よって $c < 0$ が必要である。
$c < 0$ であるとき、$b = 0$ ならば任意の $x$ で $f(x) = c < 0$ となる。また、$b \neq 0$ ならば $y = bx+c$ は傾きをもつ直線となり、値域は実数全体となるため、必ず $f(x) < 0$ となる $x$ が存在する。

よって、$a=0$ のとき、命題が成立するための必要十分条件は $c < 0$ である。

(iii) $a > 0$ のとき

$y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線である。

「ある実数 $x$ に対して $f(x) < 0$ となる」ための条件は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解をもつこと、すなわち判別式 $D > 0$ となることである。

$$ D = b^2 - 4ac > 0 $$

命題は、これが「すべての実数 $b$ に対して」成り立つことを求めている。

不等式 $b^2 - 4ac > 0$ が任意の実数 $b$ に対して成立するためには、$b^2 \geqq 0$ であることから、$-4ac > 0$ であればよい。

$a > 0$ であるから、$c < 0$ が必要十分である。

逆に $a > 0,\ c < 0$ のとき、$-4ac > 0$ となり、任意の $b$ に対して $b^2 - 4ac \geqq -4ac > 0$ が必ず成り立つ。

よって、$a > 0$ のときの条件は $c < 0$ である。

(i), (ii), (iii) より、求める必要十分条件は

$$ \boxed{a < 0 \quad \text{または} \quad c < 0} $$