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京都大学 1982年理系第2問解説

方針・初手

二次方程式が実数解をもつための判別式の条件をまず求める。次に、解の公式を用いて小さい方の根 $\beta$ を $a$ で表す。

3つの不等式が定める領域が三角形になるための図形的な条件（3直線が1点で交わらず、交点がすべて条件を満たす半直線上にあること、および領域が原点を含む側であること）を考え、そこから $a$ の不等式を導き出す。

解法1

二次方程式 $t^2 - 2at + 3a - 2 = 0$ が実数解をもつ条件は、判別式を $D$ とすると

$$ \frac{D}{4} = a^2 - (3a - 2) = a^2 - 3a + 2 \geqq 0 $$

$$ (a - 1)(a - 2) \geqq 0 $$

よって、$a \leqq 1$ または $a \geqq 2 \cdots$ （1）

このとき、方程式の解は $t = a \pm \sqrt{a^2 - 3a + 2}$ である。 $\alpha \geqq \beta$ より、

$$ \alpha = a + \sqrt{a^2 - 3a + 2}, \quad \beta = a - \sqrt{a^2 - 3a + 2} $$

次に、連立不等式 $y \leqq x \cdots$ （2） $y \geqq -x \cdots$ （3） $ay \geqq 3(x - \beta) \cdots$ （4）で定まる領域について考える。

不等式（2）と（3）の表す領域は、原点 $O(0,0)$ を頂点とし、$x \geqq 0$ の範囲に右側に広がる角領域である。

この領域が（4）と合わせて三角形になるためには、直線 $ay = 3(x - \beta)$ （これを直線 $L$ とする）が、直線 $y = x$ ($x > 0$) および $y = -x$ ($x > 0$) とそれぞれ交わり、かつ原点 $O$ が不等式（4）を満たす（すなわち原点が三角形の1頂点として含まれる）ことが必要十分である。

(i) 原点が条件を満たす条件 不等式（4）に $(x, y) = (0, 0)$ を代入すると、

$$ 0 \geqq -3\beta \iff \beta \geqq 0 $$

もし $\beta = 0$ とすると、直線 $L$ は原点を通ることになり、3直線が1点で交わるため領域は三角形にならない。よって $\beta > 0$ が必要である。

$$ \beta = a - \sqrt{a^2 - 3a + 2} > 0 \iff a > \sqrt{a^2 - 3a + 2} $$

（1）より $\sqrt{a^2 - 3a + 2} \geqq 0$ であるから、$a > 0$ でなければならない。

このとき両辺は正であるため、2乗して

$$ a^2 > a^2 - 3a + 2 \iff 3a > 2 \iff a > \frac{2}{3} $$

$a > \frac{2}{3}$ は $a > 0$ を満たす。したがって、$\beta > 0$ となる条件は $a > \frac{2}{3} \cdots$ （5）である。

(ii) 交点が $x > 0$ に存在する条件 $a > \frac{2}{3}$ より $a \neq 0$ であるため、直線 $L$ の方程式は $y = \frac{3}{a}(x - \beta)$ と表せる。直線 $y = x$ と $L$ の交点の $x$ 座標は、

$$ x = \frac{3}{a}(x - \beta) \iff (a - 3)x = -3\beta \iff x = \frac{3\beta}{3 - a} $$

これが $x > 0$ となるためには、$\beta > 0$ より $3 - a > 0 \iff a < 3 \cdots$ （6）

直線 $y = -x$ と $L$ の交点の $x$ 座標は、