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京都大学 1988年文系第2問解説

方針・初手

各頂点の位置ベクトルを文字で置き、内分点の公式を2回用いて点 $A_2, B_2, C_2$ の位置ベクトルを点 $A, B, C$ の位置ベクトルで表す。その後、辺のベクトル $\vec{A_2B_2}$ などを計算し、$\vec{AB}$ などの定数倍になっていることを確認することで、3辺の比が等しいことを示して相似を証明する（解法1）。また、図形の対称性に着目し、三角形の「重心」を基準にベクトルを立式し直すと、相似の中心や相似比がより明瞭に分かる（解法2）。

解法1

空間内（または平面上）の任意の点を始点とする位置ベクトルで考える。

$\triangle ABC$ の頂点 $A, B, C$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ とする。

点 $A_1$ は辺 $AB$ を $2:1$ に内分するので、その位置ベクトル $\vec{a_1}$ は

$$ \vec{a_1} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3} $$

である。同様に、点 $B_1, C_1$ の位置ベクトル $\vec{b_1}, \vec{c_1}$ は

$$ \vec{b_1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} $$

$$ \vec{c_1} = \frac{\vec{c} + 2\vec{a}}{3} $$

となる。

次に、点 $A_2$ は線分 $A_1B_1$ を $2:1$ に内分するので、その位置ベクトル $\vec{a_2}$ は

$$ \begin{aligned} \vec{a_2} &= \frac{\vec{a_1} + 2\vec{b_1}}{3} \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3} + 2 \cdot \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} \right) \\ &= \frac{\vec{a} + 4\vec{b} + 4\vec{c}}{9} \end{aligned} $$

である。同様にして、$B_2, C_2$ の位置ベクトル $\vec{b_2}, \vec{c_2}$ は、$A, B, C$ を巡回的に入れ替えることで得られ、

$$ \vec{b_2} = \frac{4\vec{a} + \vec{b} + 4\vec{c}}{9} $$

$$ \vec{c_2} = \frac{4\vec{a} + 4\vec{b} + \vec{c}}{9} $$

となる。

ここで、$\triangle A_2B_2C_2$ の各辺のベクトルを計算する。

$$ \begin{aligned} \vec{A_2B_2} &= \vec{b_2} - \vec{a_2} \\ &= \frac{4\vec{a} + \vec{b} + 4\vec{c}}{9} - \frac{\vec{a} + 4\vec{b} + 4\vec{c}}{9} \\ &= \frac{3\vec{a} - 3\vec{b}}{9} \\ &= -\frac{1}{3} \vec{AB} \end{aligned} $$

同様に、

$$ \vec{B_2C_2} = \vec{c_2} - \vec{b_2} = -\frac{1}{3} \vec{BC} $$

$$ \vec{C_2A_2} = \vec{a_2} - \vec{c_2} = -\frac{1}{3} \vec{CA} $$

が成り立つ。

これより、辺の長さについて

$$ |\vec{A_2B_2}| = \frac{1}{3} |\vec{AB}|, \quad |\vec{B_2C_2}| = \frac{1}{3} |\vec{BC}|, \quad |\vec{C_2A_2}| = \frac{1}{3} |\vec{CA}| $$

となるため、$A_2B_2 : AB = B_2C_2 : BC = C_2A_2 : CA = 1 : 3$ である。

3組の辺の比がすべて等しいので、三角形 $A_2B_2C_2$ は三角形 $ABC$ に相似である。

解法2

解法1と同様に、各点の位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{a_2}, \vec{b_2}, \vec{c_2}$ とする。

$\triangle ABC$ の重心を $G$ とし、その位置ベクトルを $\vec{g}$ とすると、

$$ \vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} $$

である。

解法1より、$\vec{a_2} = \frac{\vec{a} + 4\vec{b} + 4\vec{c}}{9}$ であるから、これを $\vec{g}$ を用いて変形する。

$$ \begin{aligned} \vec{a_2} &= \frac{-3\vec{a} + 4(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{9} \\ &= -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{4}{3} \cdot \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \\ &= -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{g} \end{aligned} $$

両辺から $\vec{g}$ を引くと、

$$ \vec{a_2} - \vec{g} = -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{g} = -\frac{1}{3} (\vec{a} - \vec{g}) $$

すなわち、

$$ \vec{GA_2} = -\frac{1}{3} \vec{GA} $$

が成り立つ。

同様の計算から（あるいは文字の対称性より）、

$$ \vec{GB_2} = -\frac{1}{3} \vec{GB} $$

$$ \vec{GC_2} = -\frac{1}{3} \vec{GC} $$

も成り立つ。

これは、点 $A_2, B_2, C_2$ が、それぞれ点 $A, B, C$ を重心 $G$ を相似の中心として相似比 $-\frac{1}{3}$ で拡大（縮小）した点であることを意味している。

したがって、三角形 $A_2B_2C_2$ は三角形 $ABC$ と相似の位置にあり、互いに相似である。