京都大学 1968年 理系 第4問 解説

方針・初手

四面体において、辺 $CD$ が底面 $ABC$ に垂直であるから、三平方の定理で $AD, BD$ を表し、余弦定理で $\angle ADB$ と $\angle ACB$ を比較する。

解法1

$CA = a, CB = b, CD = h$ とおく（$a, b, h > 0$）。 また、$\angle ACB = \gamma, \angle ADB = \delta$ とする。

辺 $CD$ は平面 $ABC$ に垂直であるから、$CD \perp CA$ および $CD \perp CB$ が成り立つ。 直角三角形 $ACD, BCD$ において、三平方の定理より

$$ AD^2 = a^2 + h^2, \quad BD^2 = b^2 + h^2 $$

である。

$\triangle ABC$ において余弦定理を用いると

$$ AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma $$

が成り立つ。同様に $\triangle ABD$ において余弦定理を用いると

$$ AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 AD \cdot BD \cos \delta $$

である。これらを等置して

$$ a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma = (a^2 + h^2) + (b^2 + h^2) - 2 \sqrt{a^2 + h^2}\sqrt{b^2 + h^2} \cos \delta $$

整理すると

$$ 2 \sqrt{a^2 + h^2}\sqrt{b^2 + h^2} \cos \delta = 2h^2 + 2ab \cos \gamma $$

すなわち

$$ \sqrt{a^2 + h^2}\sqrt{b^2 + h^2} \cos \delta = h^2 + ab \cos \gamma \quad \cdots ① $$

を得る。

条件より $\frac{\pi}{2} \leqq \gamma < \pi$ であるから、$\cos \gamma \leqq 0$ である。

ここで

$$ \sqrt{a^2 + h^2}\sqrt{b^2 + h^2} > ab $$

が成り立つ。また、$\cos \gamma \leqq 0$ であるから、両辺に $\cos \gamma$ を掛けると不等号の向きが反転して

$$ \sqrt{a^2 + h^2}\sqrt{b^2 + h^2}\cos \gamma \leqq ab \cos \gamma $$

となる。したがって

$$ h^2 + ab \cos \gamma - \sqrt{a^2 + h^2}\sqrt{b^2 + h^2}\cos \gamma \geqq h^2 > 0 $$

であるから、

$$ h^2 + ab \cos \gamma > \sqrt{a^2 + h^2}\sqrt{b^2 + h^2}\cos \gamma $$

を得る。これと ① より

$$ \sqrt{a^2 + h^2}\sqrt{b^2 + h^2}\cos \delta > \sqrt{a^2 + h^2}\sqrt{b^2 + h^2}\cos \gamma $$

となるので、

$$ \cos \delta > \cos \gamma $$

である。

$0 < \delta, \gamma < \pi$ において $\cos \theta$ は単調減少であるから、

$$ \delta < \gamma $$

となる。

以上より、いずれの場合も $\angle ADB < \angle ACB$ が成り立つ。

解説

この問題は、空間図形における角の大小関係を、余弦定理を媒介にして代数的に比較する問題である。 点 $D$ が平面 $ABC$ から離れることで $AD, BD$ がそれぞれ $AC, BC$ より長くなり、その影響が余弦の比較に現れる。

特に $\cos \gamma \leqq 0$ であることを使うと、余弦定理から得た式をそのまま比較して $\cos \delta > \cos \gamma$ とできる。空間図形の条件を辺の長さの式に置き換えてから角を比べる流れが要点である。

答え

$\frac{\pi}{2} \leqq \angle ACB < \pi$ のとき、

$$ \angle ADB < \angle ACB $$