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京都大学 1968年理系第5問解説

方針・初手

点 $P$ は放物線 $y = x^2$ 上にあるため、その座標を $(x, x^2)$ と表すことができる。与えられた点 $A, B$ の座標を求め、2点間の距離の公式を用いて $PA^2 + PB^2$ を $x$ の関数 $f(x)$ として立式する。

その後、関数の増減、凹凸を調べるために導関数 $f'(x)$ および第2次導関数 $f''(x)$ を計算し、増減表を作成して極値、変曲点、およびグラフの概形を求める。

解法1

点 $A, B$ は放物線 $y = x^2$ 上にあり、それぞれの $x$ 座標が $-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ であるから、座標は以下の通りである。

$$ A\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right), \quad B\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) $$

放物線上の点 $P(x, y)$ は $y = x^2$ を満たすので、$P(x, x^2)$ と書ける。このとき、$f(x) = PA^2 + PB^2$ とおくと

$$ \begin{aligned} f(x) &= \left\{ \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{4} \right)^2 \right\} + \left\{ \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{9}{4} \right)^2 \right\} \\ &= \left( x^2 + x + \frac{1}{4} + x^4 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{16} \right) + \left( x^2 - 3x + \frac{9}{4} + x^4 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{81}{16} \right) \\ &= 2x^4 - 3x^2 - 2x + \frac{122}{16} \\ &= 2x^4 - 3x^2 - 2x + \frac{61}{8} \end{aligned} $$

この関数の増減と凹凸を調べるために微分する。

$$ f'(x) = 8x^3 - 6x - 2 = 2(4x^3 - 3x - 1) $$

$f'(x)$ について、係数の和が $4 - 3 - 1 = 0$ となることから $x = 1$ を因数に持つ。

$$ f'(x) = 2(x - 1)(4x^2 + 4x + 1) = 2(x - 1)(2x + 1)^2 $$

$f'(1) = 0$ かつ $f'\left(-\frac{1}{2}\right) = 0$ である。次に、第2次導関数を求める。

$$ f''(x) = 24x^2 - 6 = 6(4x^2 - 1) = 6(2x - 1)(2x + 1) $$

$f''(x) = 0$ となるのは $x = \pm \frac{1}{2}$ のときである。以上の結果をもとに増減表を作成する。

$x$	$\cdots$	$-\frac{1}{2}$	$\cdots$	$\frac{1}{2}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f''(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f(x)$	$\searrow$ (下凸)	変曲点	$\searrow$ (上凸)	変曲点	$\searrow$ (下凸)	極小	$\nearrow$ (下凸)

各点における値は以下の通りである。

$x = -\frac{1}{2}$ のとき：$f\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{16}\right) - 3\left(\frac{1}{4}\right) - 2\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{61}{8} = \frac{1}{8} - \frac{6}{8} + \frac{8}{8} + \frac{61}{8} = \frac{64}{8} = 8$
$x = \frac{1}{2}$ のとき：$f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{16}\right) - 3\left(\frac{1}{4}\right) - 2\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{61}{8} = \frac{1}{8} - \frac{6}{8} - \frac{8}{8} + \frac{61}{8} = \frac{48}{8} = 6$
$x = 1$ のとき：$f(1) = 2 - 3 - 2 + \frac{61}{8} = -3 + \frac{61}{8} = \frac{37}{8}$

したがって、極小値は $x = 1$ のとき $\frac{37}{8}$。変曲点は $\left(-\frac{1}{2}, 8\right)$ および $\left(\frac{1}{2}, 6\right)$。 $x = -\frac{1}{2}$ では $f'(x) = 0$ だが、前後で符号が変化しないため極値ではない。

グラフの概形は、極小点 $\left(1, \frac{37}{8}\right)$ に向かって単調に減少し、その過程で $x = \pm \frac{1}{2}$ で曲がり方が変わる曲線となる。$x \to \pm \infty$ で $f(x) \to \infty$ である。

解説

本問は、平面上の点と動点の距離の自乗和を解析する問題である。立式自体は容易であるが、4次関数の微分の処理に注意が必要である。特に $f'(x) = 0$ が重解 $x = -\frac{1}{2}$ を持つため、そこでは極値をとらず、増減表において減少から減少へと続く「停滞」の形になる点を見落とさないようにしたい。凹凸の判定に用いる $f''(x)$ の符号変化もしっかり確認することで、変曲点を正確に特定できる。