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東北大学 2016年理系第5問解説

方針・初手

交線 $l$ を $z$ 軸とみなし，平面 $\alpha,\beta$ を座標で表すと処理しやすい。

まず，$m,n$ はともに $l$ に垂直で $O$ を通るから，$P,Q$ はともに $O$ を通る $xy$ 平面上にある。したがって，$OP,OQ,PQ$ から，$m$ と $n$ のなす角を余弦定理で求められる。

そのうえで点 $T$ の座標を $t$ で表し，中心 $T$ から各平面までの距離を出せば，球の切り口は半径 $\sqrt{2-d^2}$ の円になるので，面積が求まる。

解法1

座標を次のようにとる。

$O=(0,0,0)$
交線 $l$ を $z$ 軸
平面 $\alpha$ を $y=0$

さらに，平面 $\alpha$ 上の直線 $m$ を $x$ 軸とすれば，

$$ P=(\sqrt{3},0,0) $$

とおける。

一方，平面 $\beta$ 上の直線 $n$ は $xy$ 平面内で $m$ となす角を $\theta$ とすると，$OQ=2$ より

$$ Q=(2\cos\theta,,2\sin\theta,,0) $$

と表せる。

ここで $PQ=1$ だから，三角形 $POQ$ に余弦定理を用いて

$$ 1^2=(\sqrt{3})^2+2^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\cos\theta $$

すなわち

$$ 1=3+4-4\sqrt{3}\cos\theta $$

より

$$ 4\sqrt{3}\cos\theta=6,\qquad \cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

したがって

$$ \theta=\frac{\pi}{6} $$

である。よって

$$ Q=(\sqrt{3},1,0) $$

となる。

線分 $PQ$ 上で $PT=t$，しかも $PQ=1$ であるから，$T$ は

$$ T=(\sqrt{3},,t,,0)\qquad (0\le t\le 1) $$

と表せる。

平面 $\alpha$ による切り口

平面 $\alpha$ は $y=0$ だから，点 $T$ から平面 $\alpha$ までの距離は

$$ d_\alpha=t $$

である。

半径 $\sqrt{2}$ の球を，中心から距離 $d_\alpha$ の平面で切った切り口は半径

$$ \sqrt{2-d_\alpha^2}=\sqrt{2-t^2} $$

の円である。したがって面積は

$$ \pi(2-t^2) $$

である。

よって，求める面積は

$$ \pi(2-t^2) $$

である。

平面 $\beta$ による切り口

平面 $\beta$ は，$xy$ 平面で見ると直線 $n$ を含むので，

$$ y=\frac{1}{\sqrt{3}}x $$

すなわち

$$ -x+\sqrt{3}y=0 $$

と表せる。

したがって，点 $T=(\sqrt{3},t,0)$ から平面 $\beta$ までの距離は

$$ d_\beta= \frac{|-\sqrt{3}+\sqrt{3}t|}{\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}} ======================================================== \frac{\sqrt{3}(1-t)}{2} $$

である。ただし $0\le t\le 1$ を用いた。

よって，平面 $\beta$ による切り口の面積は

$$ \pi\left(2-d_\beta^2\right) =========================== \pi\left(2-\frac{3}{4}(1-t)^2\right) $$

である。

したがって，面積の和 $f(t)$ は

$$ f(t)=\pi(2-t^2)+\pi\left(2-\frac{3}{4}(1-t)^2\right) $$

すなわち

$$ f(t)=\frac{\pi}{4}(13+6t-7t^2) $$

となる。

これは下に凸の二次関数であるから，最大値は頂点でとる。頂点の $t$ は

$$ t=-\frac{6}{2(-7)}=\frac{3}{7} $$

である。

このとき

$$ f\left(\frac{3}{7}\right) ========================= # \frac{\pi}{4}\left(13+\frac{18}{7}-7\cdot \frac{9}{49}\right) # \frac{\pi}{4}\left(13+\frac{9}{7}\right) # \frac{\pi}{4}\cdot \frac{100}{7} \frac{25\pi}{7} $$

となる。