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京都大学 1971年理系第4問解説

方針・初手

曲線と直線の交点の $x$ 座標を求め、積分区間を決定する。被積分関数に絶対値が含まれるため、絶対値の中身の正負によって積分区間を分割し、立体の体積を定積分で計算する。図形の対称性を利用すると計算量を減らすことができる。

解法1

曲線 $y = \sqrt{|x^2 - 1|}$ と直線 $y = 2$ の交点の $x$ 座標を求める。

$$ \sqrt{|x^2 - 1|} = 2 $$

両辺を2乗して整理する。

$$ |x^2 - 1| = 4 $$

$$ x^2 - 1 = \pm 4 $$

$x^2 \ge 0$ より $x^2 - 1 = -4$ すなわち $x^2 = -3$ を満たす実数 $x$ は存在しないため、$x^2 - 1 = 4$ を解く。

$$ x^2 = 5 $$

$$ x = \pm \sqrt{5} $$

曲線 $y = \sqrt{|x^2 - 1|}$ と直線 $y = 2$ はともに $y$ 軸に関して対称であるから、囲む図形も $y$ 軸に関して対称である。したがって、求める回転体の体積 $V$ は、$x \ge 0$ の部分の体積を2倍して求められる。

区間 $0 \le x \le \sqrt{5}$ において、直線 $y = 2$ はつねに曲線 $y = \sqrt{|x^2 - 1|}$ の上側にあるため、体積 $V$ は次のように表される。

$$ V = 2 \pi \int_{0}^{\sqrt{5}} \left\{ 2^2 - \left(\sqrt{|x^2 - 1|}\right)^2 \right\} dx $$

$$ V = 2 \pi \int_{0}^{\sqrt{5}} (4 - |x^2 - 1|) dx $$

ここで、絶対値を外すために積分区間を $0 \le x \le 1$ と $1 \le x \le \sqrt{5}$ に分割する。

（i）区間 $0 \le x \le 1$ のとき

$x^2 - 1 \le 0$ であるから、$|x^2 - 1| = 1 - x^2$ となる。

（ii）区間 $1 \le x \le \sqrt{5}$ のとき

$x^2 - 1 \ge 0$ であるから、$|x^2 - 1| = x^2 - 1$ となる。

これらを定積分の式に代入して計算する。

$$ \begin{aligned} V &= 2 \pi \left\{ \int_{0}^{1} \{4 - (1 - x^2)\} dx + \int_{1}^{\sqrt{5}} \{4 - (x^2 - 1)\} dx \right\} \\ &= 2 \pi \left\{ \int_{0}^{1} (x^2 + 3) dx + \int_{1}^{\sqrt{5}} (-x^2 + 5) dx \right\} \\ &= 2 \pi \left\{ \left[ \frac{1}{3}x^3 + 3x \right]_{0}^{1} + \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 5x \right]_{1}^{\sqrt{5}} \right\} \\ &= 2 \pi \left[ \left( \frac{1}{3} + 3 \right) + \left( -\frac{5\sqrt{5}}{3} + 5\sqrt{5} \right) - \left( -\frac{1}{3} + 5 \right) \right] \\ &= 2 \pi \left( \frac{10}{3} + \frac{10\sqrt{5}}{3} - \frac{14}{3} \right) \\ &= 2 \pi \left( \frac{10\sqrt{5} - 4}{3} \right) \\ &= \frac{4(5\sqrt{5} - 2)}{3} \pi \end{aligned} $$

解説

回転体の体積を求める典型的な問題である。被積分関数に絶対値が含まれているため、中身の正負によって適切に場合分けを行い、積分区間を分割することがポイントとなる。また、被積分関数が偶関数であること（図形が $y$ 軸対称であること）を利用すると、積分区間を半分にして計算の手間とミスを減らすことができる。