トップ› 京都大学› 2010年› 理系第6問（甲）

京都大学 2010年理系第6問（甲）解説

方針・初手

立方体をその対角線を軸にして回転させる問題です。回転体の体積を求める基本方針として、「回転軸に垂直な平面で立体を切断し、その断面を回転させたときの面積を積分する」という手順をとります。

回転軸 $OF$ 上の点を、原点からの距離などを用いてパラメタライズします。
回転軸に垂直な平面で立方体を切断したときの断面（多角形）を考えます。
その断面内で、軸（平面と軸の交点）から最も遠い点までの距離を求めます。これが回転体の半径になります。
断面の面積を軸方向に沿って積分し、体積を求めます。

解法1

立方体は、不等式 $0 \leqq x \leqq 1$, $0 \leqq y \leqq 1$, $0 \leqq z \leqq 1$ が表す領域である。回転軸は原点 $O(0,0,0)$ と $F(1,1,1)$ を通る直線 $OF$ であり、方向ベクトルは $\vec{d} = (1,1,1)$ である。

直線 $OF$ に垂直な平面 $\alpha$ の方程式を $x+y+z=k$ とおく。立方体と交わる範囲は $0 \leqq k \leqq 3$ である。平面 $\alpha$ と直線 $OF$ の交点を $H$ とすると、$H$ は平面 $\alpha$ 上にあり、かつ $H(t,t,t)$ とおけるため、$t+t+t=k$ より $t=\dfrac{k}{3}$ となる。すなわち $H\!\left(\dfrac{k}{3}, \dfrac{k}{3}, \dfrac{k}{3}\right)$ である。

点 $H$ の原点 $O$ からの距離を $s = OH$ とすると、$s = \sqrt{\left(\dfrac{k}{3}\right)^2 \times 3} = \dfrac{k}{\sqrt{3}}$ であり、$k$ が $0$ から $3$ まで変化するとき、$s$ は $0$ から $\sqrt{3}$ まで変化する。

平面 $\alpha$ による立方体の切断面を $S_k$ とする。断面 $S_k$ 内の点 $Q(x,y,z)$ を軸 $OF$ の周りに回転させたときの軌跡は、半径 $HQ$ の円盤となる。したがって、この平面における回転体の断面の半径 $R(k)$ は、$S_k$ 内の点における $HQ$ の最大値に等しい。

$$ HQ^2 = \left(x - \frac{k}{3}\right)^2 + \left(y - \frac{k}{3}\right)^2 + \left(z - \frac{k}{3}\right)^2 = x^2+y^2+z^2 - \frac{2}{3}k(x+y+z) + \frac{1}{3}k^2 $$

$Q$ は平面 $\alpha$ 上にあるため $x+y+z=k$ であり、

$$ HQ^2 = x^2+y^2+z^2 - \frac{k^2}{3} $$

となる。$k$ を固定したとき、$HQ^2$ が最大となるのは $f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$ が最大となるときである。

関数 $f(x,y,z)$ は下に凸な関数であり、$S_k$ は立方体と平面の共通部分である凸多角形であるから、最大値はその頂点でとる。

$S_k$ の頂点は、立方体の辺と平面 $\alpha$ の交点である。また、立方体は点 $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ に関して点対称であるため、断面の形状は $k = \dfrac{3}{2}$ を境に対称となる。よって $0 \leqq k \leqq \dfrac{3}{2}$ の範囲で考える。

(i) $0 \leqq k \leqq 1$ のとき

平面 $x+y+z=k$ と交わる辺は、原点 $O$ から出る3本の辺（$x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸上の線分）である。交点は $(k, 0, 0)$, $(0, k, 0)$, $(0, 0, k)$ の3つであり、いずれの点でも $x^2+y^2+z^2 = k^2$ である。

したがって、

$$ R(k)^2 = k^2 - \frac{k^2}{3} = \frac{2}{3}k^2 $$

(ii) $1 \leqq k \leqq \dfrac{3}{2}$ のとき

平面 $x+y+z=k$ と交わる辺は、座標の1つが $1$、1つが $0$ に固定されている6本の辺である。たとえば辺（$x=1, z=0, 0 \leqq y \leqq 1$）上の点との交点は $1+y+0=k$ より $(1, k-1, 0)$ となる。$1 \leqq k \leqq 2$ であれば $0 \leqq k-1 \leqq 1$ を満たすため、確かに辺上の点である。

対称性より、交点は $(1, k-1, 0)$, $(1, 0, k-1)$, $(k-1, 1, 0)$, $(0, 1, k-1)$, $(k-1, 0, 1)$, $(0, k-1, 1)$ の6点となる。これらの点に対して、

$$ x^2+y^2+z^2 = 1^2 + (k-1)^2 + 0^2 = k^2 - 2k + 2 $$

したがって、

$$ R(k)^2 = (k^2 - 2k + 2) - \frac{k^2}{3} = \frac{2}{3}k^2 - 2k + 2 $$

求める回転体の体積 $V$ は、微小厚さ $ds = \dfrac{1}{\sqrt{3}} dk$ の円柱の体積 $\pi R(k)^2\, ds$ を $0 \leqq k \leqq 3$ で積分したものである。対称性から $0 \leqq k \leqq \dfrac{3}{2}$ の部分を2倍して計算する。

$$ V = 2 \int_0^{\frac{3}{2}} \pi R(k)^2\, ds = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \int_0^{\frac{3}{2}} R(k)^2\, dk $$

積分を2つの区間に分けて計算する。

$$ \int_0^{\frac{3}{2}} R(k)^2\, dk = \int_0^1 \frac{2}{3}k^2\, dk + \int_1^{\frac{3}{2}} \left( \frac{2}{3}k^2 - 2k + 2 \right) dk $$

それぞれの定積分は、

$$ \int_0^1 \frac{2}{3}k^2\, dk = \left[ \frac{2}{9}k^3 \right]_0^1 = \frac{2}{9} $$

$$ \int_1^{\frac{3}{2}} \left( \frac{2}{3}k^2 - 2k + 2 \right) dk = \left[ \frac{2}{9}k^3 - k^2 + 2k \right]_1^{\frac{3}{2}} $$

$$ = \left( \frac{2}{9}\cdot\frac{27}{8} - \frac{9}{4} + 3 \right) - \left( \frac{2}{9} - 1 + 2 \right) = \left( \frac{3}{4} - \frac{9}{4} + 3 \right) - \frac{11}{9} = \frac{3}{2} - \frac{11}{9} = \frac{5}{18} $$

よって、

$$ V = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \left( \frac{2}{9} + \frac{5}{18} \right) = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \cdot \frac{9}{18} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} $$