京都大学 1971年 理系 第5問 解説

方針・初手

正 $n$ 角形の1辺の長さを $a$ とおき、作図される各扇形の半径と中心角を $a$ と $n$ を用いて表すことから始める。扇形の中心角と半径の規則性を調べ、面積の総和を計算する。

解法1

(i)

正 $n$ 角形 $A_1A_2\cdots A_n$ の1辺の長さを $a$ とする。 半径 $r$ の円に内接していることから、円の中心を $O$ とすると、$\angle A_1OA_2 = \frac{2\pi}{n}$ であり、

$$ a = 2r \sin\frac{\pi}{n} $$

である。

$k$ 番目の扇形を考える（$k=1, 2, \dots, n$）。 第1の扇形 $A_2A_1B_1$ は、中心 $A_2$、半径 $r_1 = A_2A_1 = a$ である。また、辺 $A_3A_2$ の延長上に点 $B_1$ をとるため、この扇形の中心角は正 $n$ 角形の外角に等しく $\frac{2\pi}{n}$ となる。

第2の扇形 $A_3B_1B_2$ は、中心 $A_3$、半径 $r_2 = A_3B_1 = A_3A_2 + A_2B_1 = a + a = 2a$ であり、中心角は同様に外角であるから $\frac{2\pi}{n}$ となる。

これを順次繰り返すと、$k$ 番目の扇形の中心角はすべて $\frac{2\pi}{n}$ であり、半径 $r_k$ は

$$ r_k = ka $$

となる。したがって、$k$ 番目の扇形の面積を $s_k$ とすると、

$$ s_k = \frac{1}{2} r_k^2 \cdot \frac{2\pi}{n} = \frac{\pi}{n} (ka)^2 = \frac{\pi a^2}{n} k^2 $$

である。これら $n$ 個の扇形の面積の総和 $T_n$ は、

$$ T_n = \sum_{k=1}^n s_k = \sum_{k=1}^n \frac{\pi a^2}{n} k^2 = \frac{\pi a^2}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{\pi a^2}{6} (n+1)(2n+1) $$

となる。ここに $a = 2r \sin\frac{\pi}{n}$ を代入すると、

$$ T_n = \frac{\pi}{6} \left( 4r^2 \sin^2\frac{\pi}{n} \right) (n+1)(2n+1) = \frac{2\pi r^2}{3} (n+1)(2n+1) \sin^2\frac{\pi}{n} $$

となる。

一方、正 $n$ 角形の面積 $P_n$ は、面積が $\frac{1}{2} r^2 \sin\frac{2\pi}{n}$ の二等辺三角形 $OA_k A_{k+1}$ が $n$ 個集まったものであるから、

$$ P_n = \frac{n}{2} r^2 \sin\frac{2\pi}{n} $$

となる。

以上より、求める面積 $S_n$ は $S_n = P_n + T_n$ であるから、

$$ S_n = \frac{n}{2} r^2 \sin\frac{2\pi}{n} + \frac{2\pi r^2}{3} (n+1)(2n+1) \sin^2\frac{\pi}{n} $$

(ii)

(i) で求めた $S_n$ の $n \to \infty$ における極限を求める。

まず、正 $n$ 角形の面積 $P_n$ の極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} r^2 \sin\frac{2\pi}{n} = \lim_{n \to \infty} \pi r^2 \cdot \frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}} = \pi r^2 \cdot 1 = \pi r^2 $$

となる。

次に、扇形の面積の総和 $T_n$ の極限は、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} T_n &= \lim_{n \to \infty} \frac{2\pi r^2}{3} (n+1)(2n+1) \sin^2\frac{\pi}{n} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{2\pi r^2}{3} n^2 \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right) \left( \frac{\pi}{n} \cdot \frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}} \right)^2 \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{2\pi r^2}{3} \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right) \pi^2 \left( \frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}} \right)^2 \\ &= \frac{2\pi r^2}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \pi^2 \cdot 1^2 \\ &= \frac{4}{3} \pi^3 r^2 \end{aligned} $$

となる。

したがって、全体の極限 $\lim_{n \to \infty} S_n$ は、

$$ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (P_n + T_n) = \pi r^2 + \frac{4}{3} \pi^3 r^2 = \pi r^2 \left( 1 + \frac{4}{3}\pi^2 \right) $$

解説

各扇形の半径が1辺の長さずつ順番に大きくなっていく規則性に気づくことが最初のステップである。正多角形の外角が中心角となるため、扇形の面積が自然数の2乗の和の公式に帰着される。 後半の極限計算では、数学IIIの微積分で頻出する $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いるための式変形を行う。図形的には、(ii) の結果は円の面積と、円のインボリュート曲線（伸開線）によって囲まれる領域の面積の和を意味している。

答え

(i)

$$ S_n = \frac{n}{2} r^2 \sin\frac{2\pi}{n} + \frac{2\pi r^2}{3} (n+1)(2n+1) \sin^2\frac{\pi}{n} $$

(ii)

$$ \lim_{n \to \infty} S_n = \pi r^2 \left( 1 + \frac{4}{3}\pi^2 \right) $$