京都大学 2019年 理系 第5問 解説

方針・初手

球の中心から正方形を含む平面までの距離を変数として設定し、四角錐の体積を1変数関数として表します。

体積を最大にするためには、まず底面（正方形）を固定したときに高さが最大になるように頂点 $\text{A}$ の位置を決める必要があります。高さが最大となるのは、頂点 $\text{A}$ が底面から最も遠い球面上の点にあるときです。

体積を立式した後は、微分（または相加平均と相乗平均の関係）を用いて関数の最大値を求めます。

解法1

球の半径は $1$ であり、中心を $\text{O}$ とする。

正方形 $\text{B}_1\text{B}_2\text{B}_3\text{B}_4$ を含む平面を $\alpha$ とし、球の中心 $\text{O}$ と平面 $\alpha$ との距離を $t\ (0 \leqq t < 1)$ とする。

平面 $\alpha$ による球の切り口は円になり、正方形の4つの頂点はこの円周上にある。

切り口の円の半径を $r$ とすると、三平方の定理より

$$ r^2 = 1 - t^2 $$

である。

正方形 $\text{B}_1\text{B}_2\text{B}_3\text{B}_4$ はこの円に内接するため、正方形の対角線の長さは円の直径 $2r$ に等しい。

したがって、底面となる正方形の面積 $S$ は

$$ S = \frac{(2r)^2}{2} = 2r^2 = 2(1 - t^2) $$

と表せる。

次に、四角錐 $\text{A}\text{B}_1\text{B}_2\text{B}_3\text{B}_4$ の高さ $h$ について考える。

底面が固定されているとき、体積が最大となるのは高さ $h$ が最大となるときである。

頂点 $\text{A}$ は球面上を動くため、平面 $\alpha$ からの距離が最大となるのは、$\text{A}$ が中心 $\text{O}$ を通り平面 $\alpha$ に垂直な直線と球面との交点のうち、平面 $\alpha$ から遠い方の点にあるときである。

このとき、四角錐の高さ $h$ は

$$ h = 1 + t $$

となる。

したがって、四角錐の体積 $V$ は $t$ の関数として次のように表される。

$$ V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot 2(1 - t^2) \cdot (1 + t) = \frac{2}{3}(1 - t)(1 + t)^2 $$

この関数の最大値を求めるために、$f(t) = (1 - t)(1 + t)^2$ とおき、$t$ について微分する。

$$ f'(t) = -(1 + t)^2 + (1 - t) \cdot 2(1 + t) = (1 + t)\{-(1 + t) + 2(1 - t)\} = (1 + t)(1 - 3t) $$

$0 \leqq t < 1$ の範囲において、$f'(t) = 0$ となるのは $t = \dfrac{1}{3}$ のときである。

増減表（省略）から、$f(t)$ は $0 \leqq t < \dfrac{1}{3}$ で単調増加、$t > \dfrac{1}{3}$ で単調減少するため、$t = \dfrac{1}{3}$ で極大かつ最大となる。

$t = \dfrac{1}{3}$ のとき、$f(t)$ の値は

$$ f\!\left(\frac{1}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right)\!\left(1 + \frac{1}{3}\right)^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9} = \frac{32}{27} $$

となる。

よって、求める体積の最大値は

$$ V_{\max} = \frac{2}{3} \cdot \frac{32}{27} = \frac{64}{81} $$

である。

解法2

体積を $V(t) = \dfrac{2}{3}(1 - t)(1 + t)^2$ と立式するところまでは解法1と同様である。

最大値を求める際、微分を用いずに相加平均と相乗平均の大小関係を利用することができる。

積 $(1 - t)(1 + t)(1 + t)$ において、各因数の和が定数になるように係数を調整する。

正の数 $2(1 - t),\ (1 + t),\ (1 + t)$ に対して、相加平均と相乗平均の関係より

$$ \frac{2(1-t) + (1+t) + (1+t)}{3} \geqq \sqrt[3]{2(1-t)(1+t)^2} $$

左辺を計算すると、

$$ \frac{2(1-t) + (1+t) + (1+t)}{3} = \frac{4}{3} $$

となるため、

$$ \frac{4}{3} \geqq \sqrt[3]{2(1-t)(1+t)^2} $$

両辺を3乗して

$$ \frac{64}{27} \geqq 2(1-t)(1+t)^2 \implies (1-t)(1+t)^2 \leqq \frac{32}{27} $$

を得る。

等号が成立するのは、

$$ 2(1-t) = 1+t \implies 3t = 1 \iff t = \frac{1}{3} $$

のときであり、これは $0 \leqq t < 1$ を満たす。

したがって、$(1 - t)(1 + t)^2$ の最大値は $\dfrac{32}{27}$ である。

よって、体積の最大値は

$$ V_{\max} = \frac{2}{3} \cdot \frac{32}{27} = \frac{64}{81} $$

である。

解説

空間図形の最大・最小問題の典型であり、「動く点が多い場合は、一部を固定して考える」という原則を用います。

まずは底面を固定して最適な頂点 $\text{A}$ の位置を定め、次に底面の位置を変数化するという2段階の最適化を行っています。

また、式を立てた後に現れる関数 $(1 - t)(1 + t)^2$ の最大化は、解法2のように和が一定になるように因数を定数倍して相加・相乗平均の関係を用いると、微分計算の労力やミスを減らすことができ、記述も美しくまとまります。

答え

$$ V_{\max} = \frac{64}{81} $$