京都大学 1974年 理系 第4問 解説

方針・初手

多項式の次数に着目する。条件(イ)から $F(x)$ と $g(x)$ の次数を比較し、条件(ロ)を用いて $F(x)$ を $g(x)$ と1次式の積として表す。この式を微分して条件(イ)を適用することで、$g(x)$ に関する微分方程式を導き、係数を比較して $g(x)$ を特定する。

解法1

条件(ハ)より、$g(x)$ は $n$ 次式である。（$x^{n-1}$ の係数が定義されていることから、$n \ge 1$ である）

条件(イ)より

$$ \frac{dF(x)}{dx} = g(x) $$

であるから、$F(x)$ は $(n+1)$ 次の多項式である。

条件(ロ)より、$F(x)$ は $g(x)$ で割り切れるため、その商は1次式となる。 商を $ax+b$ （$a, b$ は定数、$a \neq 0$）とおくと、

$$ F(x) = (ax+b)g(x) $$

と表すことができる。

条件(ハ)より、$g(x)$ の $x^n$ の係数は $1$、$x^{n-1}$ の係数は $0$ であるから、

$$ g(x) = x^n + c_{n-2}x^{n-2} + \dots + c_1 x + c_0 $$

と書ける。（$n=1$ のときは $g(x)=x$ となる）

これを積分すると、条件(イ)より

$$ F(x) = \int g(x) dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + \frac{c_{n-2}}{n-1} x^{n-1} + \dots + C $$

となり、$F(x)$ の $x^{n+1}$ の係数は $\frac{1}{n+1}$、$x^n$ の係数は $0$ であることがわかる。

一方、$F(x) = (ax+b)g(x)$ を展開すると、

$$ F(x) = (ax+b)(x^n + c_{n-2}x^{n-2} + \dots) = ax^{n+1} + bx^n + \dots $$

となる。

これら2つの $F(x)$ の式について、$x^{n+1}$ および $x^n$ の係数を比較すると、

$$ a = \frac{1}{n+1}, \quad b = 0 $$

となる。 したがって、

$$ F(x) = \frac{1}{n+1} x g(x) $$

が成り立つ。

この式の両辺を $x$ で微分すると、積の微分法より

$$ \frac{dF(x)}{dx} = \frac{1}{n+1} \{ 1 \cdot g(x) + x \cdot g'(x) \} $$

となる。

条件(イ)より $\frac{dF(x)}{dx} = g(x)$ であるから、

$$ g(x) = \frac{1}{n+1} \{ g(x) + x g'(x) \} $$

両辺に $n+1$ を掛けて整理すると、

$$ (n+1)g(x) = g(x) + x g'(x) $$

$$ n g(x) = x g'(x) $$

が得られる。

ここで、$g(x)$ を一般に

$$ g(x) = x^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k x^k $$

とおき、$n g(x) = x g'(x)$ に代入する。

左辺は

$$ n g(x) = n x^n + \sum_{k=0}^{n-1} n a_k x^k $$

右辺は

$$ x g'(x) = x \left( n x^{n-1} + \sum_{k=1}^{n-1} k a_k x^{k-1} \right) = n x^n + \sum_{k=1}^{n-1} k a_k x^k $$

となる（右辺の和は便宜上 $k=0$ を含めて $\sum_{k=0}^{n-1} k a_k x^k$ と書いても値は変わらない）。

両辺の各次数の係数を比較すると、$0 \le k \le n-1$ を満たす任意の整数 $k$ について、

$$ n a_k = k a_k $$

$$ (n-k) a_k = 0 $$

が成り立つ。

$k < n$ より $n-k \neq 0$ であるから、すべての $k$ において

$$ a_k = 0 $$

となる。 よって、

$$ g(x) = x^n $$

であることがわかる。 （これは条件(ハ)の「$x^{n-1}$ の係数が $0$」という条件も満たしている）

これを $F(x) = \frac{1}{n+1} x g(x)$ に代入して、

$$ F(x) = \frac{1}{n+1} x^{n+1} $$

を得る。

解説

多項式の決定問題における定石である、「次数」と「最高次の係数」に着目する手法を用いる問題だ。

条件(ロ)の「割り切れる」という性質から $F(x) = (ax+b)g(x)$ と置くことができ、これと条件(イ)の積分関係から生じる係数の一致を利用することで、商が $\frac{1}{n+1}x$ であることを見抜けるかが最大のポイントとなる。

商が判明した後は、それを再度微分して元の条件式に代入し、各項の係数を比較することで、$g(x)$ の $x^n$ 以外のすべての係数が $0$ になることを鮮やかに示すことができる。

答え

$$ F(x) = \frac{1}{n+1} x^{n+1}, \quad g(x) = x^n $$