京都大学 1980年 理系 第1問 解説

方針・初手

行列の乗法は結合法則を満たすため、考えられる積のパターンを順に計算して列挙していく素直な方針で解くことができる。 やみくもに計算するのではなく、まず $A^2$ と $B^2$ を計算してみよう。するとどちらも零行列 $O$ になることに気づく。零行列には何を掛けても零行列になるため、実質的に考えるべき積は $A$ と $B$ が交互に並ぶものだけに絞られる。 それらの計算を繰り返し、結果がループすることを示せば、得られる行列の全種類が確定する。

解法1

与えられた行列は

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

である。 $A, B$ だけで乗法を用いて得られる行列は、文字 $A, B$ を（重複を許して）いくつか並べた積の形で表される。

まず、同じ行列を2回掛けた場合を計算する。

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O $$

$$ B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O $$

零行列 $O$ にはどの行列を掛けても $O$ となるため、文字の並びの中に $AA$ や $BB$ が含まれる積はすべて $O$ となる。 したがって、積が $O$ にならないためには、$A$ と $B$ が交互に現れる必要がある。

次に、$A$ と $B$ を交互に掛ける場合を調べる。 長さ2の積：

$$ AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

長さ3の積：

$$ ABA = (AB)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A $$

$$ BAB = (BA)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = B $$

これより、長さが3以上の交互の積は、元の行列や長さ2の積に戻ることがわかる。 実際に長さ4以降の積を確認すると、

$$ ABAB = (AB)(AB) = A(BAB) = AB $$

$$ BABA = (BA)(BA) = B(ABA) = BA $$

となり、これ以上新しい行列は得られない。 （※ 行列 $A, B$ 自身も、$ABA = A, BAB = B$ より、3つの行列の積として確実に得ることができる。）

したがって、$A, B$ を用いて乗法で得られる行列は、$A, B, AB, BA, O$ の5種類に限られる。

解説

行列の積の有限性を調べる、パズルのような問題である。 行列の積を順番に計算していくと、ある時点で必ず過去に出た結果（あるいは零行列）と一致し、結果がループする。この問題では $A^2=O, B^2=O$ にすぐ気づけるかが最大のポイントだ。これがわかれば、「調べるべきは $A, B$ が交互に並ぶ積だけである」という方針が立ち、計算量を一気に減らすことができる。 ちなみに、大学数学の言葉では $A, B$ のように何乗かすると零行列になる行列を「冪零（べきれい）行列」と呼ぶ。

答え

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$