東北大学 2004年 理系 第6問 解説

方針・初手

まず(1)で $A^2,\ B^2,\ AB,\ BA$ を計算する。すると $A^2=B^2=I$ となるので、$A,B$ をいくつか並べた積は、隣り合う $AA,\ BB$ を消していけば、最終的に $A,B$ が交互に並ぶ形に簡約できる。

したがって、長い積で新しい行列が本当に現れるかどうかは、交互積 $A,\ B,\ AB,\ BA,\ ABA,\ BAB,\dots$ を調べれば十分である。

解法1

(1) まず $AA,\ BB,\ AB,\ BA$ を計算する。

$$ A=\begin{pmatrix} -1 & 0\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} $$

よって

$$ AA= \begin{pmatrix} -1 & 0\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0\ 0 & 1 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} 1 & 0\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ BB= \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} 1 & 0\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ AB= \begin{pmatrix} -1 & 0\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} -\frac12 & -\frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} $$

$$ BA= \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0\ 0 & 1 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} -\frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\ -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} $$

したがって

$$ AA=BB=I $$

である。

(2) 任意の積を考える。$AA=BB=I$ なので、積の中に $AA$ や $BB$ が現れたら消すことができる。これを繰り返すと、最終的に $A,B$ が交互に並ぶ形に簡約される。

よって調べるべき候補は

$$ A,\ B,\ AB,\ BA,\ ABA,\ BAB,\ ABAB,\ BABA,\dots $$

である。

ここで、長さ4以上のものが新しい行列を与えないことを確かめる。

まず

$$ ABAB=(AB)^2= \begin{pmatrix} -\frac12 & -\frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix}^2 =============== \begin{pmatrix} -\frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\ -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} =BA $$

同様に

$$ BABA=(BA)^2= \begin{pmatrix} -\frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\ -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix}^2 =============== \begin{pmatrix} -\frac12 & -\frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} =AB $$

したがって

$$ ABABA=(ABAB)A=BAA=B $$

$$ BABAB=(BABA)B=ABB=A $$

$$ ABABAB=(ABAB)AB=BAAB=I $$

となり、これ以降は同じものの繰り返しになる。よって新しく現れうるのは長さ3までである。

長さ3のものも計算すると、

$$ ABA= \begin{pmatrix} -1 & 0\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\ -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} \frac12 & -\frac{\sqrt3}{2}\ -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} $$

$$ BAB= \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac12 & -\frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} \frac12 & -\frac{\sqrt3}{2}\ -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} =ABA $$

よって、このようにして得られる行列は全部で6個である。

解説

この問題の要点は、$A^2=B^2=I$ という関係を使って、どんな長い積もどんどん短くできる点にある。したがって、単に計算を続けるのではなく、まず「どのような形まで簡約できるか」を見抜くことが重要である。

実際、簡約後は交互積しか残らず、その交互積も長さ4以降はすでに出たものに戻る。したがって、有限個しか現れないことが分かる。

答え

$$ AA=BB= \begin{pmatrix} 1 & 0\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ AB= \begin{pmatrix} -\frac12 & -\frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix}, \qquad BA= \begin{pmatrix} -\frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\ -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} $$

また、集合 ${A,B}$ から重複を許して取り出して並べた積として得られる行列は

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -1 & 0\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix}, $$

$$ \begin{pmatrix} -\frac12 & -\frac{\sqrt3}{2}\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -\frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\ -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac12 & -\frac{\sqrt3}{2}\ -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} $$

の6個すべてである。