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京都大学 1995年理系第5問解説

方針・初手

与えられた条件 (イ), (ロ) を整理し、各空席に客が着席する確率を「重み（比率）」を用いてモデル化します。問題文の「両端が空席の席」という表現は、文脈から「左右の両隣が空席である席」を指していると解釈します。したがって、各空席に着席する確率の比（重み）は以下のようになります。

重み1: 両端の席（1番、7番）、または先客が着席している隣の席
重み2: 両隣が空席の席（2番〜6番のうち、左右の席が空いている席）

ある客が到着したとき、各空席に着席する確率は、「その空席の重み」を「すべての空席の重みの和」で割った値として計算できます。このルールに基づいて、指定された着席順序ごとに確率を計算し、足し合わせます。

解法1

条件より、ある時点での空席を以下の3つのグループに分類し、着席する確率の比（重み）を割り当てる。

A: 端の席（1番、7番） $\implies$ 重み $1$
B: 先客の隣の席 $\implies$ 重み $1$
C: 両隣が空席の席（端を除く） $\implies$ 重み $2$ 各客は、空席の重みの合計に対するその席の重みの割合の確率で着席する。

(1) 3人目の客が到着したときに1番と3番に先客がいる状態は、1人目と2人目が「1番 $\to$ 3番」または「3番 $\to$ 1番」の順で着席した場合である。

[1] 1人目が着席するとき 誰も着席していないため、各空席の分類は以下の通り。

1番, 7番：グループA (重み1)
2, 3, 4, 5, 6番：グループC (重み2) 重みの和は $1 \times 2 + 2 \times 5 = 12$ である。
1人目が1番に座る確率は $\frac{1}{12}$
1人目が3番に座る確率は $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

[2] 1番 $\to$ 3番の順で着席する確率 1人目が1番に着席した状態での空席の分類は以下の通り。

2番：グループB (重み1)
3, 4, 5, 6番：グループC (重み2)
7番：グループA (重み1) 重みの和は $1 + 2 \times 4 + 1 = 10$ である。 2人目が3番（重み2）に着席する確率は $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ したがって、この順で着席する確率は $\frac{1}{12} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{60}$

[3] 3番 $\to$ 1番の順で着席する確率 1人目が3番に着席した状態での空席の分類は以下の通り。

1番：グループA (重み1) ※端の席であるため
2, 4番：グループB (重み1)
5, 6番：グループC (重み2)
7番：グループA (重み1) 重みの和は $1 + 1 \times 2 + 2 \times 2 + 1 = 8$ である。 2人目が1番（重み1）に着席する確率は $\frac{1}{8}$ したがって、この順で着席する確率は $\frac{1}{6} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{48}$

以上より、求める確率は

$$ \frac{1}{60} + \frac{1}{48} = \frac{4}{240} + \frac{5}{240} = \frac{9}{240} = \frac{3}{80} $$

(2) 4人目の客が到着したときに2番、4番、6番に先客がいる状態は、1人目〜3人目が $\{2, 4, 6\}$ の順列の順に座る場合である。着席順は $3! = 6$ 通りあるが、対称性から「2番から座り始める3通り」と「6番から座り始める3通り」の確率は等しい。よって、2番から始まる2通りと、4番から始まって次に2番に座る1通りについてのみ計算し、対称性を利用する。

[1] 1人目が着席するとき (1)と同様に重みの和は $12$。

1人目が2番に座る確率は $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
1人目が4番に座る確率は $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

[2] 2番 $\to$ 4番 $\to$ 6番の順で着席する確率 ・1人目が2番に着席した後の空席状況（先客 $\{2\}$） 1(重み1), 3(1), 4(2), 5(2), 6(2), 7(1) 重みの和は $1 + 1 + 2\times 3 + 1 = 9$ 2人目が4番に着席する確率は $\frac{2}{9}$

・2人目が4番に着席した後の空席状況（先客 $\{2, 4\}$） 1(重み1), 3(1), 5(1), 6(2), 7(1) 重みの和は $1 \times 4 + 2 = 6$ 3人目が6番に着席する確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

よって、確率は $\frac{1}{6} \times \frac{2}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{162} = \frac{1}{81}$ 対称性より、6番 $\to$ 4番 $\to$ 2番も $\frac{1}{81}$

[3] 2番 $\to$ 6番 $\to$ 4番の順で着席する確率 ・先客 $\{2\}$ の状態から、2人目が6番に着席する確率 [2]と同様に重みの和は $9$ であり、6番の重みは $2$ だから確率は $\frac{2}{9}$

・2人目が6番に着席した後の空席状況（先客 $\{2, 6\}$） 1(重み1), 3(1), 4(2), 5(1), 7(1) 重みの和は $1\times 4 + 2 = 6$ 3人目が4番に着席する確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

よって、確率は $\frac{1}{6} \times \frac{2}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{81}$ 対称性より、6番 $\to$ 2番 $\to$ 4番も $\frac{1}{81}$

[4] 4番 $\to$ 2番 $\to$ 6番の順で着席する確率 ・1人目が4番に着席した後の空席状況（先客 $\{4\}$） 1(重み1), 2(2), 3(1), 5(1), 6(2), 7(1) 重みの和は $1\times 4 + 2\times 2 = 8$ 2人目が2番に着席する確率は $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

・2人目が2番に着席した後の空席状況（先客 $\{4, 2\}$）これは[2]の途中状態と同じであるため、重みの和は $6$。 3人目が6番に着席する確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

よって、確率は $\frac{1}{6} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{72}$ 対称性より、4番 $\to$ 6番 $\to$ 2番も $\frac{1}{72}$

以上より、求める確率はこれら6通りの和であるから

$$ 4 \times \frac{1}{81} + 2 \times \frac{1}{72} = \frac{4}{81} + \frac{1}{36} = \frac{16}{324} + \frac{9}{324} = \frac{25}{324} $$

解説

条件文にある「両端が空席の席」という独特の言い回しを、「（配列の端ではなく）その席の左右両隣が空席である席」と正しく解釈できるかが最大のポイントです。「確率が2倍」などの比率が与えられた場合は、本解法のように「重み（ウェイト）」を設定し、「（その事象の重み） $\div$ （重みの総和）」で確率を計算する手法が非常に有用です。 (2)では、順番によって確率が異なるため、対称性をうまく利用して計算量を減らし、計算ミスを防ぐ工夫が求められます。