京都大学 2010年 理系 第6問（乙） 解説

方針・初手

確率 $p_n$ を $n$ を用いた式で表すことが第一歩です。分母はすべてのボールの入り方の総数、分子は「どの箱にも 1 個以下」となるような入り方の総数として計算します。 その後、$p_n$ の対数をとって $n$ で割った式の極限を考えますが、和の極限の形になるため、定積分を利用する「区分求積法」に持ち込むのが定石です。

解法1

$n$ 個のボールを区別して考える。 各ボールは $2n$ 個の箱のいずれかに等確率で入るため、ボールの入り方の総数は $(2n)^n$ 通りである。 どの箱にも1個以下のボールしか入らないための条件は、$n$ 個のボールがすべて異なる箱に入ることである。 そのような入り方は、$2n$ 個の箱から $n$ 個の箱を選び、そこに $n$ 個のボールを1つずつ入れる順列の数に等しいため、$_{2n}\mathrm{P}_n$ 通りである。

したがって、求める確率 $p_n$ は

$$ p_n = \frac{_{2n}\mathrm{P}_n}{(2n)^n} = \frac{2n \cdot (2n-1) \cdots (n+1)}{(2n)^n} $$

と表せる。分子の積の因子は $n$ 個であるから、分母の $2n$ と1つずつペアにして割ると、

$$ p_n = \prod_{k=1}^n \frac{n+k}{2n} = \prod_{k=1}^n \left( \frac{1}{2} + \frac{k}{2n} \right) $$

となる。これの自然対数をとって $n$ で割ると、

$$ \frac{\log p_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log \left( \frac{1}{2} + \frac{k}{2n} \right) $$

これは区分求積法の基本形 $\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^n f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$ となっており、$f(x) = \log \!\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{x}{2}\right)$ とおいたものに等しい。

したがって、$n \to \infty$ の極限は定積分で表される。

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{\log p_n}{n} = \int_0^1 \log \left( \frac{1+x}{2} \right) dx $$

この定積分を計算する。$t = \dfrac{1+x}{2}$ とおくと $dx = 2\,dt$ であり、積分区間は $t: \dfrac{1}{2} \to 1$。

$$ \int_0^1 \log \left( \frac{1+x}{2} \right) dx = 2\int_{\frac{1}{2}}^1 \log t\, dt = 2\Big[ t \log t - t \Big]_{\frac{1}{2}}^1 $$

$$ = 2 \left\{ (0 - 1) - \left( \frac{1}{2} \cdot (-\log 2) - \frac{1}{2} \right) \right\} = 2 \left( -1 + \frac{\log 2}{2} + \frac{1}{2} \right) = \log 2 - 1 $$

解法2

階乗を用いた別の式変形による解法を示す。

$$ p_n = \frac{_{2n}\mathrm{P}_n}{(2n)^n} = \frac{(2n)!}{n!\,(2n)^n} $$

両辺の自然対数をとり $n$ で割ると、

$$ \frac{\log p_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n} \log k - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log k - \log 2 - \log n $$

各項で $\log k = \log \dfrac{k}{n} + \log n$ と変形して代入すると $\log n$ の項が相殺され、

$$ \frac{\log p_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n} \log \frac{k}{n} - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log \frac{k}{n} - \log 2 $$

区分求積法より（$\log x$ は $x=0$ で広義積分として収束）、

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n} \log \frac{k}{n} = \int_0^2 \log x\, dx = \Big[ x \log x - x \Big]_0^2 = 2\log 2 - 2 $$

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log \frac{k}{n} = \int_0^1 \log x\, dx = \Big[ x \log x - x \Big]_0^1 = -1 $$

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{\log p_n}{n} = (2\log 2 - 2) - (-1) - \log 2 = \log 2 - 1 $$

解説

確率の漸近挙動を評価する問題です。

積の形で表された確率の対数をとることで「和」に変換し、それを区分求積法で定積分に帰着させるという一連の流れは、難関大で頻出のパターンです。

解法1のように $p_n$ を積の形 $\prod$ で表す際に、$k$ 番目の項を $\dfrac{n+k}{2n}$ のように整理できるかがポイントです。解法2の方法も有効ですが、広義積分が現れるため、解法1の方が安全で素直なルートと言えます。

答え

$$ \log 2 - 1 $$