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大阪大学 2010年理系第4問解説

方針・初手

球が他の球に内接・外接する条件、およびその内部・外部にある条件を、それぞれの中心間の距離に着目して立式する。固定された2つの球の中心を通る直線を座標軸に設定し、動く球の中心が満たす領域の不等式を導く。その後、立体の体積を積分（または球の体積公式の組み合わせ）を用いて計算する。

解法1

球 $T_1$ の中心を $O_1$、球 $T_2$ の中心を $O_2$、球 $S$ の中心を $P$ とする。 $T_1$ の半径は $3$、$T_2$ の半径は $1$ であり、$T_1$ と $T_2$ は内接しているため、中心間の距離は

$$ O_1 O_2 = 3 - 1 = 2 $$

である。

球 $S$ は半径 $1$ であり、条件(A), (B)は $P$ と $O_1$, $O_2$ との距離を用いて次のように表せる。

条件(A)より、$S$ は $T_1$ に内接するかその内部にあるため、

$$ O_1 P \leqq 3 - 1 \iff O_1 P \leqq 2 $$

が成り立つ。

条件(B)より、$S$ は $T_2$ に外接するかその外部にあるため、

$$ O_2 P \geqq 1 + 1 \iff O_2 P \geqq 2 $$

が成り立つ。

ここで空間座標を導入する。 $O_1$ を原点 $(0,0,0)$ とし、$O_2$ を $(0,0,2)$ となるように $z$ 軸をとる。点 $P$ の座標を $(x,y,z)$ とすると、上記の条件はそれぞれ以下の不等式で表される。

$$ x^2 + y^2 + z^2 \leqq 4 \quad \cdots \text{①} $$

$$ x^2 + y^2 + (z-2)^2 \geqq 4 \quad \cdots \text{②} $$

領域 $D$ は、不等式①を満たす領域から、不等式

$$ x^2 + y^2 + (z-2)^2 < 4 $$

を満たす領域を除いた部分である。すなわち、$D$ の体積 $V$ は、原点を中心とする半径 $2$ の球 $U_1$ の体積から、球 $U_1$ と、点 $(0,0,2)$ を中心とする半径 $2$ の球 $U_2$ の共通部分の体積 $V'$ を引いたものである。

球 $U_1$ の体積は

$$ \frac{4}{3} \pi \cdot 2^3 = \frac{32}{3}\pi $$

である。

次に共通部分の体積 $V'$ を求める。球 $U_1$ の境界 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ と、球 $U_2$ の境界 $x^2 + y^2 + (z-2)^2 = 4$ の交線は、辺々を引いて整理すると

$$ z^2 - (z-2)^2 = 0 \iff 4z - 4 = 0 \iff z = 1 $$

となる平面上にある。したがって、共通部分は平面 $z=1$ に関して対称であり、$z$ 軸に垂直な平面で切断したときの断面は円となる。 $1 \leqq z \leqq 2$ の範囲における球 $U_1$ の断面の面積は $\pi(4 - z^2)$ であるから、共通部分の体積 $V'$ は

$$ V' = 2 \int_{1}^{2} \pi (4 - z^2) dz $$

$$ V' = 2\pi \left[ 4z - \frac{z^3}{3} \right]_{1}^{2} $$

$$ V' = 2\pi \left\{ \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( 4 - \frac{1}{3} \right) \right\} $$

$$ V' = 2\pi \left( \frac{16}{3} - \frac{11}{3} \right) $$

$$ V' = 2\pi \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3}\pi $$

となる。

以上より、求める立体 $D$ の体積 $V$ は

$$ V = \frac{32}{3}\pi - \frac{10}{3}\pi = \frac{22}{3}\pi $$

である。

解法2

条件(A), (B)から領域 $D$ を表す連立不等式を導くところまでは解法1と同じである。

$$ x^2 + y^2 + z^2 \leqq 4 \quad \cdots \text{①} $$

$$ x^2 + y^2 + (z-2)^2 \geqq 4 \quad \cdots \text{②} $$

立体 $D$ は $z$ 軸を回転軸とする回転体である。 $z=t$ $(-2 \leqq t \leqq 2)$ 平面で立体 $D$ を切断したときの断面積 $S(t)$ を考える。不等式を $x^2 + y^2$ について整理すると、 ①より $x^2 + y^2 \leqq 4 - t^2$ ②より $x^2 + y^2 \geqq 4 - (t-2)^2 = 4t - t^2$ となる。

(i)

$t \leqq 0$ のとき

②の右辺 $4t - t^2$ は $0$ 以下となるため、すべての実数 $x, y$ に対してこの不等式は成り立つ。したがって、断面積 $S(t)$ は①が表す円の面積そのものとなる。

$$ S(t) = \pi (4 - t^2) \quad (-2 \leqq t \leqq 0) $$

(ii)

$t > 0$ のとき

断面は、半径 $\sqrt{4-t^2}$ の円の内部から、半径 $\sqrt{4t-t^2}$ の円の内部をくり抜いたドーナツ状（またはその一部）となる。くり抜かれる円が元の円より小さくなる（共通部分が存在する）条件は、面積を比較して

$$ 4 - t^2 \geqq 4t - t^2 \iff 4t \leqq 4 \iff t \leqq 1 $$

である。 $t > 1$ のときは条件を満たす領域が存在しないため、断面の面積は $0$ となる。したがって、$0 \leqq t \leqq 1$ の範囲における断面積 $S(t)$ は

$$ S(t) = \pi (4 - t^2) - \pi (4t - t^2) = \pi (4 - 4t) $$

となる。

以上より、立体 $D$ の体積 $V$ は

$$ V = \int_{-2}^{1} S(t) dt $$

$$ V = \int_{-2}^{0} \pi (4 - t^2) dt + \int_{0}^{1} \pi (4 - 4t) dt $$

となる。それぞれの積分を計算すると、

$$ \int_{-2}^{0} \pi (4 - t^2) dt = \pi \left[ 4t - \frac{t^3}{3} \right]_{-2}^{0} = -\pi \left( -8 + \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3}\pi $$

$$ \int_{0}^{1} \pi (4 - 4t) dt = \pi \left[ 4t - 2t^2 \right]_{0}^{1} = \pi (4 - 2) = 2\pi = \frac{6}{3}\pi $$

よって求める体積は

$$ V = \frac{16}{3}\pi + \frac{6}{3}\pi = \frac{22}{3}\pi $$

である。

解説

2つの球の位置関係を、中心間距離と半径の関係式に帰着させるのが空間図形における基本アプローチである。図形をイメージしにくい場合は、空間座標を適切に導入し（今回のように中心を通る直線を座標軸とするなど）、代数的な連立不等式の問題へと変換することで機械的に処理できる。体積の計算においては、解法1のように「全体から重なり部分を引く」図形的な工夫を用いるか、解法2のように「各座標における断面積を求めて地道に定積分する」かの選択となる。