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京都大学 2019年理系第4問解説

方針・初手

出た目が 4 以下であるか 5 以上であるかの2つの状態のみに着目します。

$X_0 = 0$ であることから、初期状態を「4 以下」とみなし、条件「4 以下の目から 5 以上の目へ変化する箇所がただ 1 つである」ような目の出方の系列がどのようなパターンになるかを整理します。

パターンの数とそれぞれの確率を求めて足し合わせ、最後は「（等差数列）×（等比数列）」の和の計算に帰着させます。

解法1

さいころを1回投げたとき、4 以下の目が出る事象を $A$、5 以上の目が出る事象を $B$ とする。

それぞれの確率は、$P(A) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$、$P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ である。

$X_0 = 0$ であるから、$X_0$ は事象 $A$ を満たす状態とみなせる。

条件「$1 \leqq k \leqq n$ をみたす $k$ のうち、$X_{k-1} \leqq 4$ かつ $X_k \geqq 5$ が成立するような $k$ の値はただ 1 つである」とは、数列 $(X_0, X_1, \cdots, X_n)$ において、事象 $A$ から事象 $B$ への遷移がちょうど 1 回だけ起こるということである。

事象 $A$ から事象 $B$ への遷移が 1 回だけ起こるためには、目の出方の系列 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ が以下の形をしていなければならない。

「最初に事象 $A$ が $x$ 回連続し、次に事象 $B$ が $y$ 回連続し、最後に事象 $A$ が $z$ 回連続する」

ここで、$x, y, z$ は

$$ x \geqq 0,\quad y \geqq 1,\quad z \geqq 0,\quad x + y + z = n $$

を満たす整数である。

このとき、事象 $A$ は合計 $x + z = n - y$ 回、事象 $B$ は合計 $y$ 回起こるため、ある特定の組 $(x, y, z)$ に対応する系列が発生する確率は

$$ \left(\frac{2}{3}\right)^{n-y} \left(\frac{1}{3}\right)^{y} $$

である。

また、ある $y$（$1 \leqq y \leqq n$）を固定したとき、$x + z = n - y$（$x \geqq 0,\ z \geqq 0$）を満たす整数の組 $(x, z)$ の個数は、$x$ が $0$ から $n-y$ までの整数をとるため、$(n - y + 1)$ 個存在する。

したがって、求める確率 $P_n$ は、これらをすべての $y$ について足し合わせたものになる。

$$ P_n = \sum_{y=1}^{n} (n - y + 1) \left(\frac{2}{3}\right)^{n-y} \left(\frac{1}{3}\right)^{y} $$

ここで、$k = n - y$ とおくと、$y = 1$ のとき $k = n - 1$、$y = n$ のとき $k = 0$ であり、$n - y + 1 = k + 1$ となるから、

$$ P_n = \sum_{k=0}^{n-1} (k+1) \left(\frac{2}{3}\right)^{k} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-k} = \frac{1}{3^n} \sum_{k=0}^{n-1} (k+1) \cdot 2^k $$

と書き換えられる。

この和 $S = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (k + 1) 2^k$ を計算する。

$$ S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + \cdots + n \cdot 2^{n-1} $$

両辺に $2$ を掛けると、

$$ 2S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 8 + \cdots + n \cdot 2^{n} $$

辺々を引くと、

$$ S - 2S = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} - n \cdot 2^n $$

左辺は $-S$、右辺の前半は初項 $1$、公比 $2$、項数 $n$ の等比数列の和であるから、