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京都大学 2013年理系第6問解説

方針・初手

表が出たときの移動を $A(x) = -x$（原点対称）、裏が出たときの移動を $B(x) = 2-x$（座標 $1$ に関する対称）として、座標の変化を式で表す。
(1) は2回の操作の全4パターンを具体的に計算する。
(2) は(1)の結果を活かし「2回を1セット」として捉え、1セットごとの座標変化が $+2, 0, -2$ のいずれかになることに注目して反復試行に帰着させる。

解法1

座標 $x$ にある石に対し、

表が出た後の座標：$A(x) = -x$（原点に関する対称移動）
裏が出た後の座標：$B(x) = 2 - x$（座標 $1$ に関する対称移動、$\frac{x+x'}{2}=1$ より）

各操作の確率はどちらも $\dfrac{1}{2}$。

(1)

2回投げたときの出方は（表, 表）、（表, 裏）、（裏, 表）、（裏, 裏）の4通り、各確率 $\dfrac{1}{4}$。

それぞれの2回移動後の座標：

出方	計算	座標
(表, 表)	$A(A(x)) = -(-x)$	$x$
(表, 裏)	$B(A(x)) = 2-(-x)$	$x+2$
(裏, 表)	$A(B(x)) = -(2-x)$	$x-2$
(裏, 裏)	$B(B(x)) = 2-(2-x)$	$x$

2回後に座標が $x$ に戻るのは（表, 表）または（裏, 裏）の場合であるから、求める確率は

$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \boxed{\frac{1}{2}} $$

(2)

(1) の結果より、「2回投げる」を1セットとして考えると、1セットでの座標変化 $y$ とその確率は次のようになる。

変化量 $y$	出方	確率
$+2$	表→裏	$\dfrac{1}{4}$
$0$	表→表または裏→裏	$\dfrac{1}{2}$
$-2$	裏→表	$\dfrac{1}{4}$

座標 $0$ から出発して $2n$ 回投げること（= $n$ セット）の後、座標が $2n-2$ となる確率を求める。

$n$ セットのうち、変化量が $+2$ となる回数を $a$、$0$ となる回数を $b$、$-2$ となる回数を $c$ とすると（$a,b,c \geqq 0$）、

$$ a + b + c = n, \qquad 2a - 2c = 2n - 2 \implies a - c = n-1 $$

この連立条件を満たす非負整数解を調べる。

$a = n$ のとき：$c = 1$ となるが $a + c = n+1 > n$ より $b < 0$。不適。
$a \leqq n-2$ のとき：$c = a-(n-1) \leqq -1 < 0$。不適。
$a = n-1$ のとき：$c = 0$、$b = 1$。適する。

よって条件を満たすのは $(a, b, c) = (n-1, 1, 0)$ のみ。

$n$ セットのうち $n-1$ 回が「$+2$」、$1$ 回が「$0$」となる確率は、反復試行の公式より

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{1}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1} = n \cdot \frac{1}{2^{2n-2}} \cdot \frac{1}{2} = \boxed{\frac{n}{2^{2n-1}}} $$

解説

「2つの対称移動の合成は平行移動」という幾何学的性質を背景に持つ問題である。(1) で $A, B$ の合成を計算すると座標変化が $\pm 2$ または $0$ の整数になるという強力な規則性が現れる。この規則性を見抜けば、(2) は「変化量の和が $2n-2$ となる反復試行」という単純な問題に帰着する。

$2n$ 回で到達できる最大座標は $2n$（毎回 $+2$）であるから、$2n-2$ に到達するには「$+2$ が1回だけ $0$ に変わる」しか選択肢がない（$-2$ が1回でも出ると $2n-4$ 以下になる）という直感的な絞り込みも有効である。