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京都大学 2019年理系第3問解説

方針・初手

頂点 $\text{B}$ を基準として、点 $\text{P}$ の位置を実数パラメータ $t$ を用いて表します。

座標平面を導入して点 $\text{P}$ の $x$ 座標と $y$ 座標を $t$ の関数として表し、置換積分を用いて曲線と線分 $\text{BC}$（$x$ 軸）で囲まれた部分の面積を計算するのが確実な方針です。

また、三角形の辺のベクトルを基底とする斜交座標（ベクトルの係数成分）に着目して面積を計算する解法も有効です。

解法1

座標平面上に $\triangle \text{ABC}$ を設定する。

点 $\text{B}$ を原点 $(0, 0)$ とし、直線 $\text{BC}$ を $x$ 軸にとる。

$\triangle \text{ABC}$ は鋭角三角形であるから、点 $\text{C}$ の座標を $(c, 0)$（$c > 0$）、点 $\text{A}$ の座標を $(a, b)$（$b > 0,\ 0 < a < c$）とおくことができる。

このとき、$\triangle \text{ABC}$ の面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2}cb $$

である。

点 $\text{Q}$ は線分 $\text{AC}$ を $t : 1-t$ に内分するので、その座標は

$$ \text{Q} = \bigl((1-t)a + tc,\ (1-t)b\bigr) $$

となる。

さらに、点 $\text{P}$ は線分 $\text{BQ}$ を $t : 1-t$ に内分する。点 $\text{B}$ が原点であるから、点 $\text{P}$ の位置ベクトルは点 $\text{Q}$ の位置ベクトルの $t$ 倍となる。

したがって、点 $\text{P}$ の座標 $(x, y)$ は

$$ x = t(1-t)a + t^2c, \qquad y = t(1-t)b $$

と表せる。

$0 < t < 1$ の範囲において、点 $\text{P}$ は $t \to +0$ で点 $\text{B}(0,0)$ に近づき、$t \to 1-0$ で点 $\text{C}(c,0)$ に近づく。また、この区間でつねに $y > 0$ である。

求める面積は、この曲線と $x$ 軸上の区間 $[0, c]$ で囲まれた図形の面積であるから、

$$ T = \int_0^c y\, dx $$

となる。これを $t$ による置換積分で計算する。

$x = t(1-t)a + t^2c$ より

$$ \frac{dx}{dt} = a(1-2t) + 2ct $$

$x$ が $0$ から $c$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $1$ まで変化する。

よって、求める面積を $T$ とすると

$$ T = \int_0^1 t(1-t)b \cdot \bigl[a(1-2t) + 2ct\bigr]\, dt = b\int_0^1 \bigl[at(1-t)(1-2t) + 2ct^2(1-t)\bigr]\, dt $$

ここで、第1項の定積分を計算すると、

$$ a\int_0^1 t(1-t)(1-2t)\, dt = a\int_0^1 (t - 3t^2 + 2t^3)\, dt = a\left[\frac{t^2}{2} - t^3 + \frac{t^4}{2}\right]_0^1 = a\left(\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2}\right) = 0 $$

となるため、$a$ の値によらず定積分は $0$ になる。

残る第2項の定積分は、

$$ 2c\int_0^1 t^2(1-t)\, dt = 2c\left[\frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4}\right]_0^1 = 2c\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{c}{6} $$

ここで、$S = \dfrac{1}{2}cb$ より $bc = 2S$ であるから、

$$ T = b \cdot \frac{c}{6} = \frac{bc}{6} = \frac{2S}{6} = \frac{S}{3} $$

となる。

解法2

ベクトルを用いて、$\vec{BC}$ と $\vec{BA}$ を基底とする斜交座標で考える。

点 $\text{B}$ を基準とする位置ベクトルを考える。$\vec{BC} = \vec{c},\ \vec{BA} = \vec{a}$ とおく。

点 $\text{Q}$ は $\text{AC}$ を $t : 1-t$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{BQ} = t\vec{c} + (1-t)\vec{a} $$

点 $\text{P}$ は $\text{BQ}$ を $t : 1-t$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{BP} = t \cdot \overrightarrow{BQ} = t(1-t)\vec{a} + t^2\vec{c} $$

となる。

ここで、$\overrightarrow{BP} = X\vec{c} + Y\vec{a}$ とおくと、

$$ X = t^2, \qquad Y = t(1-t) $$

である。実数 $t$ が $0 < t < 1$ を動くとき、$X$ は $0$ から $1$ まで単調に増加する。

この曲線と線分 $\text{BC}$（$Y=0$）で囲まれる領域の「$XY$ 平面における面積」$S'$ は、

$$ S' = \int_0^1 Y\, dX $$

で求められる。

$X = t^2$ より $dX = 2t\, dt$ であるから、

$$ S' = \int_0^1 t(1-t) \cdot 2t\, dt = 2\int_0^1 (t^2 - t^3)\, dt = 2\left[\frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4}\right]_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{6} $$

ここで、$X,\ Y$ を座標とする斜交座標系において、基底ベクトル $\vec{c}$ と $\vec{a}$ によって張られる平行四辺形の面積は、$\triangle \text{ABC}$ の面積 $S$ の $2$ 倍、すなわち $2S$ である。

求める面積は、このアフィン変換の性質より、平行四辺形の面積 $2S$ に $XY$ 平面での面積 $S'$ を掛けたものになるため、

$$ T = 2S \cdot S' = 2S \cdot \frac{1}{6} = \frac{S}{3} $$

となる。

解説

点 $\text{P}$ の軌跡と面積を求める問題です。

解法1のように直交座標系を設定して素直にパラメータ積分を行うのが最も確実な方針です。積分の過程で $a$（頂点 $\text{A}$ の $x$ 座標）を含む複雑な項が見事に $0$ になって消えるのが面白いところです。これは「面積が三角形の形状（$a$ の値）に依存しない」ことを数式が示しています。

解法2はベクトルを利用した斜交座標（アフィン変換）の考え方です。$\vec{BC}$ と $\vec{BA}$ に沿った成分を取り出して積分し、最後に平行四辺形の面積（$2S$）でスケールを戻すという手法は、計算量と記述量を劇的に減らすことができるため、難関大志望者にはぜひ習得してほしい強力なテクニックです。