九州大学 2017年 文系 第4問 解説

方針・初手

最大公約数に関する条件から、対象となる自然数を文字式で表し、その文字が満たすべき条件（互いに素であることなど）を絞り込む。素因数分解を活用して約数や倍数の関係を整理し、不等式から値の範囲を限定していくことが基本となる。

解法1

(1)

225を素因数分解すると、

$$ 225 = 3^2 \times 5^2 $$

となる。2017について、各位の数の和は $2+0+1+7=10$ であり3の倍数ではないため、2017は3の倍数ではない。また、一の位が7であるため5の倍数でもない。

したがって、2017は225の素因数である3も5も持たない。

よって、2017と225は互いに素であり、最大公約数は1である。

(2)

求める自然数を $n$ とおく。$n$ は2017以下の自然数であるから $1 \leqq n \leqq 2017$ である。

$n$ と225の最大公約数が15であるため、$k$ を自然数として、

$$ n = 15k $$

と表せる。

ここで、$225 = 15 \times 15$ であることから、$n$ と225の最大公約数が15となる条件は、$k$ と15が互いに素となることである。

$15 = 3 \times 5$ であるため、$k$ は3の倍数でも5の倍数でもない。

また、$n \leqq 2017$ より、

$$ 15k \leqq 2017 $$

$$ k \leqq \frac{2017}{15} = 134.4 \cdots $$

$k$ は自然数であるから、$1 \leqq k \leqq 134$ である。

1から134までの自然数のうち、3の倍数の個数は、

$$ \lfloor \frac{134}{3} \rfloor = 44 \text{ (個)} $$

5の倍数の個数は、

$$ \lfloor \frac{134}{5} \rfloor = 26 \text{ (個)} $$

15の倍数の個数は、

$$ \lfloor \frac{134}{15} \rfloor = 8 \text{ (個)} $$

したがって、1から134までの自然数のうち、3の倍数または5の倍数であるものの個数は、

$$ 44 + 26 - 8 = 62 \text{ (個)} $$

求める $k$ の個数は、全体からこれを除いたものであるから、

$$ 134 - 62 = 72 \text{ (個)} $$

よって、$n$ の個数も72個である。

(3)

求める自然数を $N$ とおく。条件より、$N$ と1998の最大公約数は111である。

$1998 = 111 \times 18$ であるから、$m$ を自然数として、

$$ N = 111m $$

と表せる。このとき、$m$ と18は互いに素である。

$18 = 2 \times 3^2$ であるため、$m$ は2の倍数でも3の倍数でもない。

また、$N \leqq 2017$ より、

$$ 111m \leqq 2017 $$

$$ m \leqq \frac{2017}{111} = 18.1 \cdots $$

よって、$1 \leqq m \leqq 18$ である。

さらに、$N$ と225の最大公約数が15であるという条件を考える。

$$ N = 111m = 3 \times 37 \times m $$

$$ 225 = 3^2 \times 5^2 $$

これらの最大公約数が $15 = 3 \times 5$ になるためには、$N$ は5の倍数であり、かつ9の倍数であってはならない。

$N = 3 \times 37 \times m$ が5の倍数となるためには、$m$ が5の倍数でなければならない。また、$N$ が9の倍数とならないためには、$m$ は3の倍数であってはならないが、これはすでに「$m$ と18は互いに素」という条件に含まれている。

以上より、$m$ が満たすべき条件は以下の3つである。

・$1 \leqq m \leqq 18$ ・$m$ は2の倍数でも3の倍数でもない ・$m$ は5の倍数である

$1 \leqq m \leqq 18$ の範囲にある5の倍数は、$m = 5, 10, 15$ である。

このうち、2の倍数でも3の倍数でもないものは $m = 5$ のみである。（$m=10$ は2の倍数、$m=15$ は3の倍数であるため不適）

したがって、$m = 5$ であり、求める自然数 $N$ は、

$$ N = 111 \times 5 = 555 $$

である。

解説

整数の性質に関する標準的な問題である。最大公約数が与えられたときの定石として、$A = g \times a, B = g \times b$（$a, b$ は互いに素）とおいて処理する手法が問われている。

(2)では集合の要素の個数を求める包除原理の考え方を用いる。(3)では2つの条件を同時に満たす数を探すが、一方の条件で数を絞り込み、もう一方の条件でふるいにかけるという手順を踏むと見通しが良い。

答え

(1) 1 (2) 72 (3) 555