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東京工業大学 2017年理系第1問解説

方針・初手

条件 (ii) から $N$ は $12$ を約数に持つことがわかる。すなわち、$N$ は $12 = 2^2 \cdot 3$ の倍数であり、素因数として $2$ と $3$ を持つ。さらに、$12$ が小さい方から数えて $7$ 番目の約数になるということは、「$12$ より小さい $N$ の約数がちょうど $6$ 個存在する」と言い換えることができる。このことと、条件 (i) の「約数が $12$ 個」という事実を組み合わせて、$N$ の素因数分解の形から候補を絞り込む。

解法1

$N$ の約数の個数が $12$ 個であることから、素因数分解の形を絞り込む。条件 (i) より、$N$ を素因数分解したときの指数に $1$ を足した数の積が $12$ になる。$12$ の素因数分解は $12 = 12 \times 1 = 6 \times 2 = 4 \times 3 = 3 \times 2 \times 2$ であるから、$N$ の素因数分解は以下のいずれかの型に分類できる（$p, q, r$ は相異なる素数とする）。

$p^{11}$ 型
$p^5 \cdot q^1$ 型
$p^3 \cdot q^2$ 型
$p^2 \cdot q^1 \cdot r^1$ 型

条件 (ii) より $N$ は $12$ の倍数、すなわち $2^2 \cdot 3$ を約数に持つため、$p, q, r$ のいずれかには $2$ と $3$ が含まれ、かつ $2$ の指数は $2$ 以上、$3$ の指数は $1$ 以上でなければならない。

(ア) $p^{11}$ 型の場合

素因数が $1$ 種類しか存在せず、$12$ の倍数になり得ないため不適。

(イ) $p^5 \cdot q^1$ 型の場合

素因数は $2$ と $3$ に限られる。$2$ の指数が $2$ 以上になる必要がある。

$N = 2^5 \cdot 3^1 = 96$ のとき約数を小さい方から並べると $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, \dots$ となり、$12$ は $7$ 番目であるから適する。
$N = 3^5 \cdot 2^1$ のとき $2$ の指数が $1$ なので、$12$ を約数に持たず不適。

(ウ) $p^3 \cdot q^2$ 型の場合

素因数は $2$ と $3$ に限られる。

$N = 2^3 \cdot 3^2 = 72$ のとき約数を小さい方から並べると $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, \dots$ となり、$12$ は $8$ 番目となるため不適。
$N = 3^3 \cdot 2^2 = 108$ のとき約数を小さい方から並べると $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, \dots$ となり、$12$ は $7$ 番目であるから適する。

(エ) $p^2 \cdot q^1 \cdot r^1$ 型の場合

素因数のうち $2$ つは $2$ と $3$ であり、$2$ の指数は $2$ 以上であるため、$p=2$ で確定する。よって $N = 2^2 \cdot 3^1 \cdot r^1 = 12r$ （$r$ は $5$ 以上の素数）と表される。このとき、$12$ 未満の約数は $1, 2, 3, 4, 6$ に加え、$r < 12$ であれば $r$ も含まれる。 $12$ が $7$ 番目の約数となるためには、$12$ 未満の約数がちょうど $6$ 個必要なので、$5 \le r < 12$ を満たす素数 $r$ が存在しなければならない。よって $r = 5, 7, 11$ のいずれかである。

$r = 5$ のとき、$N = 60$ 約数は $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, \dots$ となり、$12$ は $8$ 番目となるため不適。
$r = 7$ のとき、$N = 84$ 約数は $1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, \dots$ となり、$12$ は $7$ 番目であるから適する。
$r = 11$ のとき、$N = 132$ 約数は $1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, \dots$ となり、$12$ は $7$ 番目であるから適する。

以上より、条件を満たす $N$ は $84, 96, 108, 132$ である。

解法2

条件 (ii) より、$12$ は $N$ の約数である。したがって、$N$ は $12$ の正の約数である $1, 2, 3, 4, 6, 12$ をすべて約数に持つ。 $12$ が小さい方から順に並べて $7$ 番目の約数となるためには、$12$ より小さい $N$ の正の約数がちょうど $6$ 個存在しなければならない。 $12$ 未満の約数として、すでに $1, 2, 3, 4, 6$ の $5$ 個が存在するため、$N$ はこれら以外に $12$ 未満の約数をちょうど $1$ つだけ持つ必要がある。この追加の約数を $x$ とおくと、$x$ は $5, 7, 8, 9, 10, 11$ のいずれかである。

以下、$x$ の値によって場合分けを行う。

(i) $x=5$ または $x=10$ の場合

$N$ は $12$ と $5$（または $10$）を約数に持つため、最小公倍数である $60$ の倍数となる。よって、$N$ は少なくとも $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12$ を約数に持つことになり、$12$ より小さい約数が $7$ 個以上存在してしまう。したがって、$12$ は $8$ 番目以降の約数となり、条件 (ii) を満たさない。

(ii) $x=7$ の場合

$N$ は $12$ と $7$ の最小公倍数である $84$ の倍数となる。 $N$ の素因数分解は $2^a \cdot 3^b \cdot 7^c \cdots$ と表され、$84$ の倍数であるから $a \ge 2, b \ge 1, c \ge 1$ である。条件 (i) より約数の個数は $12$ 個であるから、指数の満たすべき条件は $(a+1)(b+1)(c+1)\cdots = 12$ である。 $a \ge 2, b \ge 1, c \ge 1$ を満たす整数の組は $(a, b, c) = (2, 1, 1)$ のみである。このとき $N = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 84$ となる。 $N=84$ の $12$ 未満の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 7$ の $6$ 個であり、条件 (ii) を満たす。

(iii) $x=8$ の場合

$N$ は $12$ と $8$ の最小公倍数である $24$ の倍数となる。 $N$ の素因数分解は $2^a \cdot 3^b \cdots$ と表され、$a \ge 3, b \ge 1$ である。約数が $12$ 個であることから、これ以上素因数を持たないとして $(a+1)(b+1) = 12$ を解くと $(a, b) = (3, 2)$ または $(5, 1)$ となる。（他の素因数を持つと約数の個数が $(3+1)(1+1)(1+1) = 16$ 個以上となり不適となる）

$(a, b) = (3, 2)$ のとき、$N = 2^3 \cdot 3^2 = 72$ このとき $12$ 未満の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9$ の $7$ 個となり不適。
$(a, b) = (5, 1)$ のとき、$N = 2^5 \cdot 3^1 = 96$ このとき $12$ 未満の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 8$ の $6$ 個となり適する。

(iv) $x=9$ の場合

$N$ は $12$ と $9$ の最小公倍数である $36$ の倍数となる。 $N$ の素因数分解は $2^a \cdot 3^b \cdots$ と表され、$a \ge 2, b \ge 2$ である。約数が $12$ 個であることから、$(a+1)(b+1)\cdots = 12$ を満たす組は $(a, b) = (2, 3)$ のみである。よって、$N = 2^2 \cdot 3^3 = 108$ となる。このとき $12$ 未満の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 9$ の $6$ 個となり適する。

(v) $x=11$ の場合

$N$ は $12$ と $11$ の最小公倍数である $132$ の倍数となる。 (ii) の場合と同様に、約数が $12$ 個となるのは $N = 132$ のときのみである。このとき $12$ 未満の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 11$ の $6$ 個となり適する。

以上 (i) ～ (v) より、求める正の整数 $N$ は $84, 96, 108, 132$ である。

解説

約数の個数と、具体的な約数の値に関する整数問題の典型的な構成である。解法1のように「約数の個数から元の数の素因数分解の形を絞り込む」方法と、解法2のように「12未満の約数の個数」に着目して論理を詰める方法の2つのアプローチが考えられる。どちらのアプローチでも、$N$ が $12$ の倍数であるという必要条件を用いて候補を効果的に絞り込むことがポイントとなる。論理の飛躍や場合分けの漏れなく解答を構成する力が問われている。