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九州大学 1975年理系第3問解説

方針・初手

(1) 三角形の内角の二等分線に関する定理「$\triangle\text{ABC}$ の $\angle\text{A}$ の二等分線と辺 $\text{BC}$ の交点を $\text{D}$ とすると、$\text{AB} : \text{AC} = \text{BD} : \text{DC}$」を利用し、各交点の内分比を求めます。その後、位置ベクトルの公式を用いて $\overrightarrow{\text{OC}}$, $\overrightarrow{\text{OD}}$, $\overrightarrow{\text{OE}}$ を表し、$\overrightarrow{\text{AD}}$ や $\overrightarrow{\text{BE}}$ を計算します。

(2) (1) で求めたベクトルを条件式に代入し、$\vec{a}$, $\vec{b}$ で表します。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立であるため、それぞれの係数が $0$ になるという連立方程式を立てて、$a, b, c$ の関係式を導きます。

解法1

(1)

直線 $\text{OC}$ は $\angle\text{AOB}$ の二等分線であるから、

$$\text{AC} : \text{CB} = \text{OA} : \text{OB} = a : b$$

となる。したがって、点 $\text{C}$ は辺 $\text{AB}$ を $a : b$ に内分するので、

$$\overrightarrow{\text{OC}} = \frac{b\overrightarrow{\text{OA}} + a\overrightarrow{\text{OB}}}{a + b} = \frac{b}{a + b}\vec{a} + \frac{a}{a + b}\vec{b}$$

直線 $\text{AD}$ は $\angle\text{OAB}$ の二等分線であるから、

$$\text{OD} : \text{DB} = \text{OA} : \text{AB} = a : c$$

となる。したがって、

$$\overrightarrow{\text{OD}} = \frac{a}{a + c}\overrightarrow{\text{OB}} = \frac{a}{a + c}\vec{b}$$

よって、

$$\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{OD}} - \overrightarrow{\text{OA}} = -\vec{a} + \frac{a}{a + c}\vec{b}$$

直線 $\text{BE}$ は $\angle\text{OBA}$ の二等分線であるから、

$$\text{OE} : \text{EA} = \text{OB} : \text{AB} = b : c$$

となる。したがって、

$$\overrightarrow{\text{OE}} = \frac{b}{b + c}\overrightarrow{\text{OA}} = \frac{b}{b + c}\vec{a}$$

よって、

$$\overrightarrow{\text{BE}} = \overrightarrow{\text{OE}} - \overrightarrow{\text{OB}} = \frac{b}{b + c}\vec{a} - \vec{b}$$

(2)

(1) の結果を与えられた等式に代入する。

$$\frac{1}{2}\left( \frac{b}{a + b}\vec{a} + \frac{a}{a + b}\vec{b} \right) + \left( -\vec{a} + \frac{a}{a + c}\vec{b} \right) + \left( \frac{b}{b + c}\vec{a} - \vec{b} \right) = \vec{0}$$

$\vec{a}$, $\vec{b}$ について整理すると、

$$\left\{ \frac{b}{2(a + b)} - 1 + \frac{b}{b + c} \right\}\vec{a} + \left\{ \frac{a}{2(a + b)} + \frac{a}{a + c} - 1 \right\}\vec{b} = \vec{0}$$

$\triangle\text{OAB}$ が存在することから、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$ であり、かつ $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行ではない（一次独立である）。したがって、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の係数はともに $0$ となる。

$$\frac{b}{2(a + b)} - 1 + \frac{b}{b + c} = 0 \quad \cdots \text{①}$$

$$\frac{a}{2(a + b)} + \frac{a}{a + c} - 1 = 0 \quad \cdots \text{②}$$

①、②を変形して、

$$\frac{b}{2(a + b)} + \frac{b}{b + c} = 1 \quad \cdots \text{①'}$$

$$\frac{a}{2(a + b)} + \frac{a}{a + c} = 1 \quad \cdots \text{②'}$$

①' から ②' を引くと、

$$\frac{b - a}{2(a + b)} + \frac{b(a + c) - a(b + c)}{(b + c)(a + c)} = 0$$

$$\frac{b - a}{2(a + b)} + \frac{c(b - a)}{(b + c)(a + c)} = 0$$

$$(b - a)\left\{ \frac{1}{2(a + b)} + \frac{c}{(b + c)(a + c)} \right\} = 0$$

ここで、$a, b, c$ は三角形の辺の長さであるから $a > 0, b > 0, c > 0$ であり、

$$\frac{1}{2(a + b)} + \frac{c}{(b + c)(a + c)} > 0$$

である。したがって、

$$b - a = 0 \iff a = b$$

となる。これを ①' に代入すると、

$$\frac{a}{2(2a)} + \frac{a}{a + c} = 1$$

$$\frac{1}{4} + \frac{a}{a + c} = 1$$

$$\frac{a}{a + c} = \frac{3}{4}$$

$$4a = 3(a + c)$$

$$a = 3c$$

よって、$a = b = 3c$ となる。このとき、辺の長さは $3c, 3c, c$ であり、$c > 0$ において三角形の成立条件（$3c + 3c > c$, $3c + c > 3c$）を満たす。

ゆえに、求める条件は $\text{OA} = \text{OB} = 3\text{AB}$ となることである。

解説

ベクトルの一次独立性を用いた基本的な係数比較の問題です。 (2) で導かれる2つの分数式の連立方程式は、そのまま分母を払って整理しても解けますが、右辺がともに $1$ であることに着目して辺々を引くことで、$a=b$ という対称な関係を素早く引き出すことができます。また、図形問題において求まった辺の長さやその比が、実際に三角形として存在し得るか（三角形の成立条件）を最後に確認する癖をつけておくと安全です。