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九州大学 2006年理系第2問解説

方針・初手

(1) 交点 $Q$ の位置ベクトルは、2つの直線 $OP$ と $AM$ 上にあるという条件から、パラメータを2つ設定して係数比較に持ち込むのが定石である。あるいは、メネラウスの定理を用いて内分比を直接求めることもできる。
(2) 直線 $AM$ に垂直な条件は、ベクトルを用いて内積 $0$ に帰着させる。内積計算に必要な基本量 $|\vec{a}|^2, |\vec{b}|^2, \vec{a} \cdot \vec{b}$ をあらかじめ求めておく。
(3) 「辺 $OA$ の中点」という条件をベクトルの式に翻訳し、(2) で求めた $\overrightarrow{OR}$ の係数と等値して $\alpha$ についての方程式を解く。

解法1

(1)

点 $M$ は辺 $OB$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\vec{b} $$

点 $P$ は辺 $AB$ を $\alpha : 1 - \alpha$ に内分するから、

$$ \overrightarrow{OP} = (1 - \alpha)\overrightarrow{OA} + \alpha\overrightarrow{OB} = (1 - \alpha)\vec{a} + \alpha\vec{b} $$

点 $Q$ は線分 $OP$ 上にあるので、実数 $k \ (0 < k < 1)$ を用いて $\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OP}$ と表せる。したがって、

$$ \overrightarrow{OQ} = k(1 - \alpha)\vec{a} + k\alpha\vec{b} $$

また、点 $Q$ は線分 $AM$ 上にあるので、実数 $t \ (0 < t < 1)$ を用いて $\overrightarrow{OQ} = (1 - t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OM}$ と表せる。したがって、

$$ \overrightarrow{OQ} = (1 - t)\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b} $$

$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$ であり、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立であるから、係数を比較して、

$$ \begin{cases} k(1 - \alpha) = 1 - t \\ k\alpha = \frac{t}{2} \end{cases} $$

第2式より $t = 2k\alpha$ となる。これを第1式に代入して、

$$ k(1 - \alpha) = 1 - 2k\alpha $$

$$ k - k\alpha = 1 - 2k\alpha $$

$$ k(1 + \alpha) = 1 $$

$0 < \alpha < 1$ より $1 + \alpha \neq 0$ であるから、

$$ k = \frac{1}{1 + \alpha} $$

よって、$\overrightarrow{OQ}$ は、

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{1}{1 + \alpha} \left\{ (1 - \alpha)\vec{a} + \alpha\vec{b} \right\} = \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha}\vec{a} + \frac{\alpha}{1 + \alpha}\vec{b} $$

(2)

与えられた条件より、$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\cos\theta = \frac{1}{6}$ であるから、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6} = 1 $$

点 $R$ は直線 $OA$ 上にあるから、実数 $s$ を用いて $\overrightarrow{OR} = s\vec{a}$ と表せる。このとき、

$$ \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} = s\vec{a} - \left( \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha}\vec{a} + \frac{\alpha}{1 + \alpha}\vec{b} \right) = \left( s - \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha} \right)\vec{a} - \frac{\alpha}{1 + \alpha}\vec{b} $$

また、

$$ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} $$

直線 $QR$ は線分 $AM$ に垂直であるから、$\overrightarrow{QR} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$ が成り立つ。したがって、

$$ \left\{ \left( s - \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha} \right)\vec{a} - \frac{\alpha}{1 + \alpha}\vec{b} \right\} \cdot \left( \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} \right) = 0 $$

展開して整理すると、

$$ \left( s - \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha} \right) \left( \frac{1}{2}\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2 \right) - \frac{\alpha}{1 + \alpha} \left( \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} \right) = 0 $$

ここで、

$$ \frac{1}{2}\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 - 2^2 = -\frac{7}{2} $$

$$ \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \cdot 3^2 - 1 = \frac{7}{2} $$

これらを代入して、

$$ -\frac{7}{2} \left( s - \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha} \right) - \frac{7}{2} \frac{\alpha}{1 + \alpha} = 0 $$

両辺を $-\frac{7}{2}$ で割って、

$$ s - \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha} + \frac{\alpha}{1 + \alpha} = 0 $$

$$ s = \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha} - \frac{\alpha}{1 + \alpha} = \frac{1 - 2\alpha}{1 + \alpha} $$

よって、

$$ \overrightarrow{OR} = \frac{1 - 2\alpha}{1 + \alpha}\vec{a} $$

(3)

点 $R$ が辺 $OA$ の中点であるとき、

$$ \overrightarrow{OR} = \frac{1}{2}\vec{a} $$

と表される。(2) の結果と係数を比較して、

$$ \frac{1 - 2\alpha}{1 + \alpha} = \frac{1}{2} $$

分母をはらって、

$$ 2(1 - 2\alpha) = 1 + \alpha $$

$$ 2 - 4\alpha = 1 + \alpha $$

$$ 5\alpha = 1 $$

$$ \alpha = \frac{1}{5} $$

これは $0 < \alpha < 1$ を満たす。

解法2

(1) の $\overrightarrow{OQ}$ を求める部分について、メネラウスの定理を利用する別解を示す。

$\triangle ABM$ と直線 $OP$ において、メネラウスの定理より、

$$ \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BO}{OM} \cdot \frac{MQ}{QA} = 1 $$

が成り立つ。 $AP : PB = \alpha : 1 - \alpha$、$BO : OM = 2 : 1$ であるから、

$$ \frac{\alpha}{1 - \alpha} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{MQ}{QA} = 1 $$

$$ \frac{MQ}{QA} = \frac{1 - \alpha}{2\alpha} $$

したがって、$AQ : QM = 2\alpha : 1 - \alpha$ となる。点 $Q$ は線分 $AM$ を $2\alpha : 1 - \alpha$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{(1 - \alpha)\overrightarrow{OA} + 2\alpha\overrightarrow{OM}}{2\alpha + (1 - \alpha)} = \frac{(1 - \alpha)\vec{a} + 2\alpha \cdot \frac{1}{2}\vec{b}}{1 + \alpha} = \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha}\vec{a} + \frac{\alpha}{1 + \alpha}\vec{b} $$

解説

平面ベクトルにおいて、2直線の交点の位置ベクトルを求める問題は頻出である。2通りに表して係数比較する解法1と、メネラウスの定理などの図形的性質を利用する解法2のどちらもスムーズに実行できるようにしておきたい。 (2) の垂直条件は内積 $0$ に帰着させるのが基本で、計算ミスを防ぐために $\frac{1}{2}\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2$ のようなかたまりを先に計算しておくと見通しが良くなる。