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九州大学 2021年理系第5問解説

方針・初手

(1) は二項係数の性質を利用する。${}_n\mathrm{C}_k$ の対称性 ${}_n\mathrm{C}_k = {}_n\mathrm{C}_{n-k}$ と、特定の範囲での増減に注目し、最小となる $k=2$ または $k=n-2$ の場合を評価することで示せる。
(2) は (1) の結果を最大限に活用する。(1) の不等式が適用できる $k$ の範囲と、そうでない範囲（$k=1, n-1, n$）で場合分けをして、${}_n\mathrm{C}_k = p$ となるものを探す。

解法1

(1)

条件 $2 \leqq k \leqq n-2$ より、$n-2 \geqq 2$ であるから $n \geqq 4$ である。二項係数の性質より、${}_n\mathrm{C}_k = {}_n\mathrm{C}_{n-k}$ が成り立つ。まず、$2 \leqq k \leqq \frac{n}{2}$ の範囲において ${}_n\mathrm{C}_k$ が $k$ とともに増加することを示す。 ${}_n\mathrm{C}_k$ と ${}_n\mathrm{C}_{k-1}$ の比をとると、

$$ \frac{{}_n\mathrm{C}_{k}}{{}_n\mathrm{C}_{k-1}} = \frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}} = \frac{n-k+1}{k} $$

となる。これが $1$ より大きくなる条件を求めると、

$$ \frac{n-k+1}{k} > 1 \iff n-k+1 > k \iff 2k < n+1 $$

$k$ は自然数であるから、$k \leqq \frac{n}{2}$ のとき ${}_n\mathrm{C}_k > {}_n\mathrm{C}_{k-1}$ が成り立つ。したがって、$2 \leqq k \leqq \frac{n}{2}$ の範囲において、${}_n\mathrm{C}_k \geqq {}_n\mathrm{C}_2$ である。ここで、$n \geqq 4$ を用いて ${}_n\mathrm{C}_2$ を評価すると、

$$ {}_n\mathrm{C}_2 - n = \frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n^2 - 3n}{2} = \frac{n(n-3)}{2} $$

$n \geqq 4$ のとき $n(n-3) > 0$ であるから、${}_n\mathrm{C}_2 > n$ が成り立つ。ゆえに、$2 \leqq k \leqq \frac{n}{2}$ の範囲において ${}_n\mathrm{C}_k \geqq {}_n\mathrm{C}_2 > n$ が示された。対称性 ${}_n\mathrm{C}_k = {}_n\mathrm{C}_{n-k}$ より、$\frac{n}{2} < k \leqq n-2$ の範囲にある $k$ については、$2 \leqq n-k < \frac{n}{2}$ となるため、

$$ {}_n\mathrm{C}_k = {}_n\mathrm{C}_{n-k} > n $$

が成り立つ。以上より、$2 \leqq k \leqq n-2$ をみたす自然数 $n, k$ について ${}_n\mathrm{C}_k > n$ であることが示された。

(2)

自然数 $n, k$ は $1 \leqq k \leqq n$ をみたす。$k$ の値によって以下のように場合分けをして調べる。

(i) $k=1$ のとき

${}_n\mathrm{C}_1 = n$ であるから、$n=p$ となる。このとき、$(n, k) = (p, 1)$ であり、これは条件をみたす。

(ii) $k=n-1$ のとき

${}_n\mathrm{C}_{n-1} = n$ であるから、$n=p$ となる。このとき、$(n, k) = (p, p-1)$ となる。$p$ は素数であるから $p \geqq 2$ であり、$p-1 \geqq 1$ となるため $k$ は自然数となり、条件をみたす。

(iii) $k=n$ のとき

${}_n\mathrm{C}_n = 1$ である。$1$ は素数ではないので条件をみたさない。

(iv) $2 \leqq k \leqq n-2$ のとき

(1) の結果より、${}_n\mathrm{C}_k > n$ が成り立つ。もし ${}_n\mathrm{C}_k = p$ であるならば、$p > n$ となる。一方で、${}_n\mathrm{C}_k = p$ を変形すると、

$$ \frac{n(n-1) \cdots (n-k+1)}{k!} = p $$

分母を払うと、

$$ n(n-1) \cdots (n-k+1) = p \cdot k! $$

となる。右辺は素数 $p$ を因数にもつため、左辺の積 $n(n-1) \cdots (n-k+1)$ も $p$ の倍数でなければならない。しかし、左辺の各因数 $n, n-1, \dots, n-k+1$ はいずれも $n$ 以下の自然数であり、$p > n$ であることから $p$ の倍数になり得ない。よって矛盾が生じる。したがって、この範囲で ${}_n\mathrm{C}_k = p$ をみたす自然数 $n, k$ の組は存在しない。

以上 (i)〜(iv) より、求める自然数の組は $(p, 1)$ および $(p, p-1)$ である。（なお、$p=2$ のときこの $2$ つの組は一致して $(2, 1)$ となる。）

解説

(1) では、二項係数の最大・最小の考え方が背景にある。${}_n\mathrm{C}_k$ は $k$ が中央に近いほど大きくなるため、最も小さくなりうる両端付近（$k=2$ または $k=n-2$）と $n$ を比較すればよい。 (2) は (1) の不等式を直接的な誘導として利用する。素数 $p$ が $n$ より大きい場合、連続する $k$ 個の整数（いずれも $n$ 以下）の積が $p$ を素因数として持てないことを用いて背理法で矛盾を導くのが典型的な処理である。