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東京工業大学 2021年理系第1問解説

方針・初手

(1)は、桁数に注目して場合の数を数え上げる基本問題である。$k$ 桁の整数のうち、どの位にも「9」が現れないものの個数を求める。最高位には「0」が使えないことにも注意する。

(2)は、具体的な和を直接計算することは困難であるため、上から評価して不等式を示す。与えられた数列 $b_n$ の定義から、条件を満たす $n$ に対してのみ $\frac{1}{n}$ を足し合わせる。(1)で求めた「$m$ 桁で条件を満たす整数の個数」を利用し、同じ桁数を持つ項ごとにグループ化して評価する。$m$ 桁の整数 $n$ は $n \ge 10^{m-1}$ を満たすため、$\frac{1}{n} \le \frac{1}{10^{m-1}}$ と上から評価できることがポイントである。

解法1

(1)

$10^{k-1} \le n < 10^k$ を満たす正の整数 $n$ は、ちょうど $k$ 桁の整数である。この $n$ が条件 (＊) を満たすとき、各桁の数字の選び方を考える。

最上位の位（$10^{k-1}$ の位）の数字は、1 から 8 の 8 通りである（最高位は 0 になれず、条件により 9 も使えないため）。それ以外の $k-1$ 個の位の数字は、それぞれ 0 から 8 の 9 通りである（条件により 9 のみが使えないため）。

よって、条件 (＊) を満たす $k$ 桁の正の整数の個数 $a_k$ は、

$$ a_k = 8 \times 9^{k-1} $$

(2)

和 $\sum_{n=1}^{10^k - 1} b_n$ を、桁数 $m$ ($1 \le m \le k$) ごとに分けて考える。 $10^k - 1$ 以下の正の整数は、1 桁から $k$ 桁までのいずれかである。

$m$ 桁の正の整数 $n$ （すなわち $10^{m-1} \le n < 10^m$ を満たす $n$）において、条件 (＊) を満たすものは (1) より $a_m$ 個ある。それら $a_m$ 個の $n$ のおのおのについて、

$$ n \ge 10^{m-1} $$

であるから、両辺の逆数をとると、

$$ \frac{1}{n} \le \frac{1}{10^{m-1}} $$

が成り立つ。 $b_n$ の定義より、$n$ が条件 (＊) を満たすとき $b_n = \frac{1}{n}$、満たさないとき $b_n = 0$ であるから、$m$ 桁の整数における $b_n$ の和は次のように評価できる。

$$ \sum_{n=10^{m-1}}^{10^m - 1} b_n \le a_m \times \frac{1}{10^{m-1}} $$

これに $a_m = 8 \times 9^{m-1}$ を代入すると、

$$ \sum_{n=10^{m-1}}^{10^m - 1} b_n \le \frac{8 \times 9^{m-1}}{10^{m-1}} = 8 \left( \frac{9}{10} \right)^{m-1} $$

となる。したがって、1 桁から $k$ 桁までのすべての $b_n$ の和をとると、

$$ \sum_{n=1}^{10^k - 1} b_n = \sum_{m=1}^k \left( \sum_{n=10^{m-1}}^{10^m - 1} b_n \right) \le \sum_{m=1}^k 8 \left( \frac{9}{10} \right)^{m-1} $$

右辺は初項 8、公比 $\frac{9}{10}$ の等比数列の初項から第 $k$ 項までの和であるから、

$$ \sum_{m=1}^k 8 \left( \frac{9}{10} \right)^{m-1} = \frac{8 \left\{ 1 - \left( \frac{9}{10} \right)^k \right\}}{1 - \frac{9}{10}} = 80 \left\{ 1 - \left( \frac{9}{10} \right)^k \right\} $$

$k$ は正の整数であるから $\left(\frac{9}{10}\right)^k > 0$ であり、

$$ 80 \left\{ 1 - \left( \frac{9}{10} \right)^k \right\} < 80 $$

が成り立つ。よって、すべての正の整数 $k$ に対して、

$$ \sum_{n=1}^{10^k - 1} b_n < 80 $$

が成り立つことが示された。

解説

「桁ごとにグループ分けして評価する」という、級数の評価において非常に典型的な手法を用いる問題である。個別の $\frac{1}{n}$ の値を足すことはできないため、同じ桁数を持つ数はすべて「その桁の最小の数」に置き換えて値を大きく見積もることで、扱いやすい等比数列の和に帰着させている。等比数列の和を計算した後に現れる $\left(\frac{9}{10}\right)^k$ の項が正であることを用いて、厳密な不等号 $<$ を導出する論理構成もスムーズである。極限を飛ばすと 80 に収束するような級数（一種の調和級数の部分和の評価）を背景としている。