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九州大学 2021年理系第4問解説

方針・初手

平均値の性質をみたすかどうかは、問題文で定義された式 $\frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} = f'(\gamma)$ を満たす $\gamma$ が、複素平面上の2点 $\alpha, \beta$ を結ぶ線分上に存在するかどうかで判定する。線分上の点 $\gamma$ を実数パラメータを用いて表し、方程式の実部と虚部を比較して解の存在を確認する。

解法1

(1)

$n=2$ のとき、$f(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ （$a_2 \neq 0$）とおける。

このとき、

$$ \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} = \frac{a_2(\beta^2 - \alpha^2) + a_1(\beta - \alpha)}{\beta - \alpha} = a_2(\alpha + \beta) + a_1 $$

となる。

一方、$f'(x) = 2a_2 x + a_1$ であるから、$f'(\gamma) = 2a_2 \gamma + a_1$ となる。

平均値の性質をもつための条件は、

$$ 2a_2 \gamma + a_1 = a_2(\alpha + \beta) + a_1 $$

$$ 2a_2 \gamma = a_2(\alpha + \beta) $$

を満たす $\gamma$ が $\alpha, \beta$ を結ぶ線分上に存在することである。

$a_2 \neq 0$ より、$\gamma = \frac{\alpha + \beta}{2}$ と求まる。

これは複素平面上の2点 $\alpha, \beta$ を結ぶ線分の中点であるため、確かに線分上に存在する。

よって、$n=2$ のとき、どのような $\alpha, \beta, f(x)$ も平均値の性質をもつ。

(2)

$\alpha = 1-i, \beta = 1+i$ とし、$\alpha, \beta$ を結ぶ線分上の点を $\gamma$ とする。

$\gamma$ は実数 $t \ (0 \le t \le 1)$ を用いて $\gamma = (1-t)\alpha + t\beta$ と表せる。

これを計算すると、

$$ \gamma = (1-t)(1-i) + t(1+i) = 1 + (2t-1)i $$

となる。ここで $s = 2t-1$ とおくと、$-1 \le s \le 1$ であり、$\gamma = 1 + si$ と表せる。

$f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ について、

$$ \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} = \frac{\beta^3 - \alpha^3 + a(\beta^2 - \alpha^2) + b(\beta - \alpha)}{\beta - \alpha} = \beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2 + a(\alpha + \beta) + b $$

となる。

$\alpha + \beta = 2, \alpha\beta = 1^2 + 1^2 = 2$ より、$\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2 = (\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta = 4 - 2 = 2$ であるから、

$$ \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} = 2 + 2a + b $$

となる。

一方、$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ より、

$$ f'(\gamma) = 3(1+si)^2 + 2a(1+si) + b = 3(1 - s^2 + 2si) + 2a + 2asi + b = 3 - 3s^2 + 2a + b + 2s(a+3)i $$

となる。

平均値の性質をもつ条件は、$-1 \le s \le 1$ を満たす実数 $s$ において、

$$ 3 - 3s^2 + 2a + b + 2s(a+3)i = 2 + 2a + b $$

が成り立つことである。実部と虚部を比較して、

$$ \begin{cases} 3 - 3s^2 + 2a + b = 2 + 2a + b \\ 2s(a+3) = 0 \end{cases} $$

第1式より $3s^2 = 1$ すなわち $s = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ となり、これは $-1 \le s \le 1$ を満たす。

このとき $s \neq 0$ であるから、第2式より $a + 3 = 0$ すなわち $a = -3$ となる。

$b, c$ は任意の実数でよい。

以上より、求める必要十分条件は $a = -3$ である。

(3)

$\alpha = \frac{1-i}{\sqrt{2}}, \beta = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$ とし、$\alpha, \beta$ を結ぶ線分上の点を $\gamma$ とする。

(2) と同様に実数 $t \ (0 \le t \le 1)$ を用いて $\gamma = (1-t)\alpha + t\beta$ と表すと、

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2t-1}{\sqrt{2}}i $$

となる。$u = 2t-1$ とおくと、$-1 \le u \le 1$ であり、$\gamma = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 + ui)$ と表せる。

$\beta = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}$ より、ド・モアブルの定理から

$$ \beta^7 = \cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4} = \frac{1 - i}{\sqrt{2}} = \alpha $$

同様に $\alpha = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ より、

$$ \alpha^7 = \cos\left(-\frac{7\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \beta $$

となる。

$f(x) = x^7$ について、

$$ \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} = \frac{\alpha - \beta}{\beta - \alpha} = -1 $$

となる。

一方、$f'(x) = 7x^6$ より、平均値の性質をもつと仮定すると、$-1 \le u \le 1$ を満たす実数 $u$ について

$$ 7\gamma^6 = -1 $$

となる $\gamma$ が存在することになる。

$\gamma^2 = \frac{1}{2}(1 - u^2 + 2ui)$ であるから、

$$ \gamma^6 = (\gamma^2)^3 = \frac{1}{8} \left\{ (1-u^2)^3 + 3(1-u^2)^2 (2ui) + 3(1-u^2) (2ui)^2 + (2ui)^3 \right\} $$

$$ = \frac{1}{8} \left\{ (1-u^2)^3 - 12u^2(1-u^2) \right\} + \frac{1}{8} \left\{ 6u(1-u^2)^2 - 8u^3 \right\} i $$

となる。$\gamma^6$ は実数であるから、虚部は $0$ でなければならない。

$$ 6u(1-u^2)^2 - 8u^3 = 0 $$

$$ 2u \left\{ 3(1-2u^2+u^4) - 4u^2 \right\} = 0 $$

$$ 2u (3u^4 - 10u^2 + 3) = 0 $$

$$ 2u(3u^2 - 1)(u^2 - 3) = 0 $$

$u$ は実数であり $-1 \le u \le 1$ であるから、$u = 0$ または $u^2 = \frac{1}{3}$ となる。

(i) $u = 0$ のとき

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、$\gamma^6 = \frac{1}{8}$ となるが、これは $7\gamma^6 = -1$ を満たさない。

(ii) $u^2 = \frac{1}{3}$ のとき

$\gamma^2 = \frac{1}{3} \pm \frac{1}{\sqrt{3}}i = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) = \frac{2}{3} \left( \cos\frac{\pi}{3} \pm i\sin\frac{\pi}{3} \right)$ （複号同順）となる。

したがって、

$$ \gamma^6 = (\gamma^2)^3 = \frac{8}{27} (\cos\pi \pm i\sin\pi) = -\frac{8}{27} $$

となるが、$-7 \times \frac{8}{27} = -\frac{56}{27} \neq -1$ であり、やはり $7\gamma^6 = -1$ を満たさない。

(i), (ii) より、$7\gamma^6 = -1$ を満たす線分上の点 $\gamma$ は存在しない。

よって、$\alpha = \frac{1-i}{\sqrt{2}}, \beta = \frac{1+i}{\sqrt{2}}, f(x) = x^7$ は平均値の性質をもたない。

解説

複素数関数に関する「平均値の定理」の成立について考察する問題である。実数関数の場合はラグランジュの平均値の定理により常に保証されるが、複素平面上では一般に成り立たないことを示している。 (1) では2次関数の場合は複素数においても成立することを示す。 (2) は特定の線分上という条件をパラメータ設定に帰着させる典型的な処理である。 (3) はド・モアブルの定理と複素数の相等（実部と虚部の比較）を用いて背理法的に存在しないことを証明する。複素数の高次式を展開する際は、極形式と二項定理の使い分けが計算量を減らす鍵となる。