東北大学 2018年 理系 第4問 解説

方針・初手

まず、外接円半径 $R$ を用いて辺の長さを表す公式

$$ a=2R\sin A,\quad b=2R\sin B,\quad c=2R\sin C $$

と、面積の公式

$$ S=rs=\frac{abc}{4R} $$

を使って $h=\dfrac rR$ を $\alpha,\beta,\gamma$ で表す。

（2）、（3） は （1） で得られる

$$ h=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma $$

を出発点にして、$\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ の条件のもとで積の最大値を評価すればよい。

解法1

(1)

$h=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ を示す。

$\angle A=2\alpha,\ \angle B=2\beta,\ \angle C=2\gamma$ であるから

$$ \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2} $$

である。

半周長を $s$ とすると

$$ s=\frac{a+b+c}{2} =R(\sin A+\sin B+\sin C) =R(\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma) $$

である。

ここで

$$ \sin2\alpha+\sin2\beta =2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) =2\cos\gamma\cos(\alpha-\beta) $$

より、

$$ \begin{aligned} \sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma &=2\cos\gamma\cos(\alpha-\beta)+2\sin\gamma\cos\gamma \\ &=2\cos\gamma\bigl(\cos(\alpha-\beta)+\sin\gamma\bigr). \end{aligned} $$

さらに $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}-\gamma$ だから

$$ \sin\gamma=\cos(\alpha+\beta) $$

であり、

$$ \cos(\alpha-\beta)+\sin\gamma =\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta) =2\cos\alpha\cos\beta $$

となる。したがって

$$ s=4R\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma $$

を得る。

一方、三角形の面積 $S$ は

$$ S=\frac{abc}{4R} =\frac{(2R\sin2\alpha)(2R\sin2\beta)(2R\sin2\gamma)}{4R} =2R^2\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma $$

である。

また $S=rs$ でもあるから

$$ r=\frac{S}{s} =\frac{2R^2\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma}{4R\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}. $$

ここで $\sin2x=2\sin x\cos x$ を用いると

$$ \begin{aligned} r &=\frac{2R^2(2\sin\alpha\cos\alpha)(2\sin\beta\cos\beta)(2\sin\gamma\cos\gamma)} {4R\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma} \\ &=4R\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma. \end{aligned} $$

よって

$$ h=\frac rR=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma $$

となる。

（2） 三角形 $ABC$ が直角三角形のとき $h\le \sqrt2-1$ を示す。

直角が $\angle C$ であるとすると

$$ 2\gamma=\frac{\pi}{2} $$

すなわち

$$ \gamma=\frac{\pi}{4},\quad \alpha+\beta=\frac{\pi}{4} $$

である。

（1） の結果より

$$ h=4\sin\alpha\sin\beta\sin\frac{\pi}{4} =2\sqrt2,\sin\alpha\sin\beta. $$

ここで積和公式を用いると

$$ 2\sin\alpha\sin\beta =\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) =\cos(\alpha-\beta)-\frac{\sqrt2}{2} $$

であるから

$$ h=\sqrt2\cos(\alpha-\beta)-1. $$

$\cos(\alpha-\beta)\le 1$ より

$$ h\le \sqrt2-1 $$

を得る。

等号成立は

$$ \cos(\alpha-\beta)=1 $$

すなわち

$$ \alpha=\beta $$

のときである。さらに $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}$ だから

$$ \alpha=\beta=\frac{\pi}{8}. $$

したがって

$$ A=B=\frac{\pi}{4},\quad C=\frac{\pi}{2} $$

であり、等号が成り立つのは二等辺直角三角形の場合である。

（3） 一般の三角形 $ABC$ に対して $h\le \dfrac12$ を示す。

（1） より

$$ h=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma $$

であり、$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}-\gamma$ である。

まず、和が一定のとき $\sin\alpha\sin\beta$ は $\alpha=\beta$ のとき最大であるから

$$ \sin\alpha\sin\beta \le \sin^2\frac{\alpha+\beta}{2} =\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\gamma}{2}\right) $$

となる。よって

$$ h\le 4\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\gamma}{2}\right)\sin\gamma. $$

ここで

$$ \sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\gamma}{2}\right) =\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-\gamma\right)}{2} =\frac{1-\sin\gamma}{2} $$

であるから

$$ h\le 2(1-\sin\gamma)\sin\gamma. $$

$t=\sin\gamma$ とおくと $0<t<1$ であり、

$$ h\le 2t(1-t) = -2\left(t-\frac12\right)^2+\frac12 \le \frac12 $$

となる。したがって

$$ h\le \frac12 $$

が示された。

等号が成り立つためには、途中の不等号がすべて等号でなければならない。したがって

$$ \alpha=\beta,\quad \sin\gamma=\frac12 $$

が必要である。$\gamma\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ なので

$$ \gamma=\frac{\pi}{6} $$

であり、さらに

$$ \alpha+\beta=\frac{\pi}{3},\quad \alpha=\beta $$

から

$$ \alpha=\beta=\frac{\pi}{6} $$

となる。よって

$$ A=B=C=\frac{\pi}{3} $$

であり、等号が成り立つのは正三角形の場合である。

解説

この問題の核は、まず

$$ \frac rR=4\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2 $$

を導くことである。これが得られると、あとは

$$ \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2} $$

という和一定の条件のもとで、三角関数の積の最大値を調べる問題になる。

（2） では $\gamma=\dfrac{\pi}{4}$ が固定されるので、実質的には $\sin\alpha\sin\beta$ の最大化である。和一定なら $\alpha=\beta$ のとき最大になる。

（3） でも同様で、まず $\alpha,\beta$ をまとめて評価し、その後 $\gamma$ だけの式に直すと処理しやすい。最終的に正三角形で最大になることが明確に分かる。

答え

$$ h=\frac rR=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma $$

である。

また、三角形 $ABC$ が直角三角形のとき

$$ h\le \sqrt2-1 $$

が成り立ち、等号成立は二等辺直角三角形のときである。

さらに一般の三角形 $ABC$ について

$$ h\le \frac12 $$

が成り立ち、等号成立は正三角形のときである。