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名古屋大学 1962年文系第1問解説

方針・初手

各分野（図形、空間図形、複素数、指数関数、三角関数、式の計算）の基本性質と公式を確認し、それぞれ独立した小問として処理する。

(1) は、三角形の面積と各辺からの距離（高さ）の関係を利用する。
(2) は、空間内での直角の条件を基準に、角度が広がる領域を考える。
(3) は、方程式 $z^3 = 8$ を因数分解して実数解と虚数解をすべて求める。
(4) は、$2^x > 0$ であることに着目し、相加平均と相乗平均の関係を利用して $a$ の範囲を求め、二次方程式に帰着させる。
(5) は、三角関数の性質である $\cos \theta = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right)$ を用いて平行移動の量を読み取る。
(6) は、与えられた和と平方の和から基本対称式 $pq$ の値を求め、$3$ 乗の和の公式に代入する。

解法1

(1)

$\triangle ABC$ の $3$ 辺 $BC, CA, AB$ の長さをそれぞれ $a, b, c$ とし、点 $P$ から各辺に下ろした垂線の長さをそれぞれ $h_a, h_b, h_c$ とする。三角形の面積について、以下の関係が成り立つ。

$$ \triangle PBC = \frac{1}{2} a h_a, \quad \triangle PCA = \frac{1}{2} b h_b, \quad \triangle PAB = \frac{1}{2} c h_c $$

問題の条件より、$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = a : b : c$ であるから、

$$ \frac{1}{2} a h_a : \frac{1}{2} b h_b : \frac{1}{2} c h_c = a : b : c $$

各項に $2$ を掛け、それぞれ $a, b, c$ で割る（$a, b, c$ は辺の長さであるから正）と、以下の関係を得る。

$$ h_a = h_b = h_c $$

これは、点 $P$ が $3$ 辺 $BC, CA, AB$ から等距離にあることを意味する。点 $P$ は $\triangle ABC$ の内部にあるため、$P$ は $\triangle ABC$ の内心である。

(2)

空間において、定線分 $AB$ を直径とする球面を考える。点 $P$ がこの球面上にあるとき（ただし点 $A, B$ を除く）、$\angle APB = 90^\circ$ となる。したがって、$\angle APB$ が鈍角（$90^\circ < \angle APB < 180^\circ$）となる点 $P$ の存在範囲は、この球面の内部である。ただし、点 $P$ が線分 $AB$ 上にあるときは $\angle APB = 180^\circ$ となり鈍角ではなくなる（または三角形 $PAB$ が成立しない）ため、線分 $AB$ 上の点は除く。

(3)

求める複素数を $z$ とすると、方程式 $z^3 = 8$ を満たす。これを解く。

$$ z^3 - 8 = 0 $$

左辺を因数分解して、

$$ (z - 2)(z^2 + 2z + 4) = 0 $$

したがって、$z - 2 = 0$ または $z^2 + 2z + 4 = 0$ である。これを解くと、$z = 2$、および解の公式より

$$ z = -1 \pm \sqrt{1^2 - 4} = -1 \pm \sqrt{3}i $$

を得る。

(4)

方程式 $2^x + 2^{-x} = a$ において、指数関数の値域より $2^x > 0, 2^{-x} > 0$ である。相加平均と相乗平均の関係より、

$$ 2^x + 2^{-x} \geqq 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2 $$

等号は $2^x = 2^{-x}$、すなわち $x = -x$ より $x = 0$ のとき成り立つ。したがって、与えられた方程式が実数根をもつための $a$ の値の範囲は $a \geqq 2$ である。

このとき、方程式の両辺に $2^x$ を掛けて整理すると、

$$ (2^x)^2 - a \cdot 2^x + 1 = 0 $$

$2^x$ についての $2$ 次方程式として解の公式を用いると、

$$ 2^x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2} $$

$a \geqq 2$ より $\sqrt{a^2 - 4} < a$ であるから、複号のどちらの場合も $\frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2} > 0$ となり、$2^x > 0$ の条件を満たす。両辺の底 $2$ の対数をとると、求める $x$ は

$$ x = \log_2 \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2} $$

となる（$a=2$ のときは $\log_2 1 = 0$ となり、重解として含まれる）。

(5)

三角関数の性質 $\cos \theta = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right)$ を用いると、

$$ \cos 3x = \sin \left( 3x + \frac{\pi}{2} \right) = \sin 3 \left( x + \frac{\pi}{6} \right) $$

と変形できる。これは関数 $y = \sin 3x$ の式の $x$ を $x + \frac{\pi}{6}$ で置き換えたものであり、グラフを $x$ 軸方向に $-\frac{\pi}{6}$、すなわち $x$ 軸の負の向きに $\frac{\pi}{6}$ だけ平行移動したことを示している。このことは、上記で導いた関係式 $\cos 3x = \sin 3 \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$ （または $\sin \left( 3x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos 3x$）によってわかる。

(6)

対称式の基本変形を行う。まず基本対称式 $pq$ の値を求める。

$$ (p + q)^2 = p^2 + q^2 + 2pq $$

に $p + q = \frac{1}{2}$、$p^2 + q^2 = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{3} + 2pq $$

$$ 2pq = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12} $$

よって、$pq = -\frac{1}{24}$ である。これを用いて $p^3 + q^3$ の値を求める。

$$ p^3 + q^3 = (p + q)(p^2 - pq + q^2) $$

$$ = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{24}\right) \right) $$

$$ = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{24} + \frac{1}{24} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{24} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} $$

解説

各分野の基礎力を問う小問集合である。 (1) は、内心の定義（各辺から等距離にある点）と面積の結びつきを理解しているかが問われている。 (2) は、円の直径に対する円周角が $90^\circ$ になる性質を空間に拡張した問題である。「線分 $AB$ 上の点」の除外を忘れないように注意したい。 (4) における相加平均と相乗平均の関係は、指数関数を含む方程式・不等式で非常によく用いられる典型処理である。 (5) は、「$x$ 軸の負の向きに」と指定されているため、移動量としては正の値である $\frac{\pi}{6}$ を答える。 (6) は、$(p+q)^3 = p^3 + q^3 + 3pq(p+q)$ の公式から変形しても同様に答えを導くことができる。

答え

(ア) 内心
(イ) 線分 $AB$ を直径とする球の内部（ただし、線分 $AB$ 上の点を除く）
(ウ) $2, -1 \pm \sqrt{3}i$
(エ) $a \geqq 2$
(オ) $\log_2 \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2}$
(カ) $\frac{\pi}{6}$
(キ) $\cos 3x = \sin 3 \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$ （または $\sin \left( 3x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos 3x$ など）
(ク) $\frac{3}{16}$