名古屋大学 1962年 文系 第2問 解説

方針・初手

(1) 三角形の面積を底辺と高さで表し、面積比と辺の長さの比が等しいという条件から、点 $P$ と各辺の距離（垂線の長さ）の関係を導く。

(2) 空間内の2定点に対する角の条件は、その2点を直径の端点とする球面を基準にして考える。

(3) 方程式 $z^3 = 8$ を立てて解く。因数分解の公式を利用する。

(4) 無限等比級数の収束条件（初項 $a=0$ または公比 $-1 < r < 1$）を適用する。

(5) 積の微分法と、合成関数の微分法を用いて計算する。

(6) 2つのグラフの交点を求め、上下関係を調べた上で定積分を用いて面積を計算する。

解法1

(1) 三角形 $PBC, PCA, PAB$ の面積をそれぞれ $\triangle PBC, \triangle PCA, \triangle PAB$ とする。 点 $P$ から辺 $BC, CA, AB$ に下ろした垂線の長さをそれぞれ $h_a, h_b, h_c$ とすると、各三角形の面積は次のように表される。

$$\triangle PBC = \frac{1}{2} BC \cdot h_a$$

$$\triangle PCA = \frac{1}{2} CA \cdot h_b$$

$$\triangle PAB = \frac{1}{2} AB \cdot h_c$$

条件より $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = BC : CA : AB$ であるから、

$$\frac{1}{2} BC \cdot h_a : \frac{1}{2} CA \cdot h_b : \frac{1}{2} AB \cdot h_c = BC : CA : AB$$

比の性質から、ある正の定数 $k$ を用いて以下のように表せる。

$$\frac{1}{2} BC \cdot h_a = k \cdot BC$$

$$\frac{1}{2} CA \cdot h_b = k \cdot CA$$

$$\frac{1}{2} AB \cdot h_c = k \cdot AB$$

辺の長さは $0$ ではないため、これらを整理すると $h_a = 2k, h_b = 2k, h_c = 2k$ となる。 したがって $h_a = h_b = h_c$ が成り立ち、点 $P$ は3辺から等距離にある点であることがわかる。点 $P$ は三角形の内部にあるため、これは三角形 $ABC$ の内心である。

(2) 空間において、線分 $AB$ を直径とする球面を考える。 点 $P$ がこの球面上にあるとき（ただし $A, B$ とは異なる）、円周角の定理の空間への拡張から $\angle APB = 90^\circ$ である。 点 $P$ が球面の内部にあるとき、$\angle APB > 90^\circ$（鈍角）となる。 点 $P$ が球面の外部にあるとき、$\angle APB < 90^\circ$（鋭角）となる。 よって、$\angle APB$ が鈍角となる点 $P$ の存在範囲は、線分 $AB$ を直径とする球面の内部である。

(3) 求める複素数を $z$ とすると、$z^3 = 8$ である。 移行して因数分解すると、

$$z^3 - 8 = 0$$

$$(z - 2)(z^2 + 2z + 4) = 0$$

したがって、$z - 2 = 0$ または $z^2 + 2z + 4 = 0$ である。 $z - 2 = 0$ より $z = 2$ となる。 $z^2 + 2z + 4 = 0$ を解の公式を用いて解くと、

$$z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i$$

よって、求める複素数は $2, -1 \pm \sqrt{3}i$ である。

(4) 与えられた無限級数は、初項 $x$、公比 $1-x$ の無限等比級数である。 無限等比級数が収束する（和をもつ）条件は、初項が $0$ であるか、または公比 $r$ が $-1 < r < 1$ を満たすことである。

(i) 初項が $0$、すなわち $x = 0$ のとき 級数のすべての項は $0$ となり、その和は $0$ である。これは和をもつ。

(ii) 初項が $0$ でない、すなわち $x \neq 0$ のとき 収束条件は公比について $-1 < 1-x < 1$ である。 各辺から $1$ を引いて $-2 < -x < 0$、すなわち $0 < x < 2$ となる。 このとき、級数の和は次のように計算される。

$$\frac{x}{1 - (1 - x)} = \frac{x}{x} = 1$$

(i), (ii) より、無限級数に和があるのは $x = 0$ または $0 < x < 2$、すなわち $0 \leqq x < 2$ の場合である。 そのときの和は、$x=0$ のとき $0$、$0<x<2$ のとき $1$ である。

(5) 関数 $y = x \sin 3x$ を微分する。積の微分法 $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を用いる。

$$\frac{d}{dx} (x \sin 3x) = (x)' \cdot \sin 3x + x \cdot (\sin 3x)'$$

$$= 1 \cdot \sin 3x + x \cdot (3 \cos 3x)$$

$$= \sin 3x + 3x \cos 3x$$

(6) 2つの曲線 $y = \sqrt{x}$ と直線 $y = x$ の交点の $x$ 座標を求める。

$$\sqrt{x} = x$$

両辺を2乗して $x = x^2$、すなわち $x(x - 1) = 0$ となる。 $x \geqq 0$ の条件のもとでこれを解くと、$x = 0, 1$ である。 区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において、$\sqrt{x} \geqq x$ であるから、求める面積 $S$ は上側の曲線から下側の直線を引いて定積分することで得られる。

$$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx$$

$$= \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{1}$$

$$= \left( \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} \cdot 1^2 \right) - (0 - 0)$$

$$= \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$

解説

小問集合であり、各分野の基本的な知識と計算力が問われている。

(1) 面積の式を利用して、点から各辺への垂線の長さの比を結びつける発想が重要である。 (2) 空間図形における軌跡・領域の基本事項である。平面上の円の性質を空間の球に拡張して捉えることができるかを問うている。 (3) $1$ の $3$ 乗根の計算と同様に、$x^3 - a^3 = (x-a)(x^2+ax+a^2)$ の因数分解公式を正しく用いる。 (4) 無限等比級数の収束条件において、初項が $0$ になるケースを見落としやすい。和が定数 $1$ になる場合と $0$ になる場合を分けて答えるのが数学的に正確である。 (5) 微分計算の基礎である。合成関数の微分 $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$ の係数 $3$ を忘れないよう注意する。 (6) 面積計算の基本である。グラフの上下関係を把握し、$x^{\frac{1}{2}}$ の積分公式を正しく用いる。

答え

(ア) 内心 (イ) 線分 $AB$ を直径とする球面の内部 (ウ) $2, -1 \pm \sqrt{3}i$ (エ) $0 \leqq x < 2$ (オ) $x=0$ のとき $0$、$0 < x < 2$ のとき $1$ (カ) $\sin 3x + 3x \cos 3x$ (キ) $\frac{1}{6}$