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名古屋大学 1964年文系第2問解説

方針・初手

同じ大きさの2つの円（半径を $R$ とする）と、点 $A$ を中心とする円が接する条件を幾何学的に整理する。 2つの円が接するとき、その接点は中心同士を結ぶ直線上にある。この性質から、接点 $P, Q$ と点 $A$ の位置関係を明らかにし、$AP, AQ$ がそれぞれの円の直径となることを見抜くのが第一歩である。これにより、直径に対する円周角が $90^\circ$ となる性質を用いて、点 $P, B, Q$ が一直線上にあることを導くことができる。弧の長さや面積は、共通の中心角を設定し、扇形や弓形の公式を用いて立式していく。

解法1

同じ大きさの2円をそれぞれ円 $O_1$, 円 $O_2$ とし、その半径を $R$ とする。点 $A$ は円 $O_1$, 円 $O_2$ の交点であるから、点 $A$ は両方の円周上にある。点 $A$ を中心とする円（これを円 $A$ とする）が円 $O_1$ に接するとき、その接点 $P$ は円 $A$ の中心 $A$ と円 $O_1$ の中心を結ぶ直線上にある。点 $A$ 自身が円 $O_1$ 上にあるため、直線 $AP$ は円 $O_1$ の中心を通る。すなわち、線分 $AP$ は円 $O_1$ の直径である。全く同様の理由により、線分 $AQ$ は円 $O_2$ の直径である。したがって、円 $A$ の半径は $2R$ となる。

(i)

線分 $AP$, $AQ$ はそれぞれ円 $O_1$, $O_2$ の直径であるから、直径に対する円周角は $90^\circ$ となる。円 $O_1$ において、弦 $AB$ に対する円周角を考えると、

$$ \angle PBA = 90^\circ $$

である。同様に、円 $O_2$ において、

$$ \angle QBA = 90^\circ $$

である。ゆえに、

$$ \angle PBQ = \angle PBA + \angle QBA = 180^\circ $$

となり、3点 $P, B, Q$ は一直線上にある。

ここで、$\angle PAB = \alpha$, $\angle QAB = \beta$ とおく。 $\angle PAQ = \alpha + \beta$ である。

円 $A$ の半径は $2R$ であるから、弧 $PQ$ の長さは、

$$ \overset{\frown}{PQ} = 2R(\alpha + \beta) $$

となる。一方、円 $O_1$ において、弧 $PB$ に対する中心角は、円周角 $\angle PAB$ の2倍であるから $2\alpha$ となる。したがって、半径 $R$ の円 $O_1$ における弧 $PB$ の長さは、

$$ \overset{\frown}{PB} = R \times 2\alpha = 2R\alpha $$

となる。同様に、円 $O_2$ において、弧 $BQ$ に対する中心角は $2\beta$ となるので、弧 $BQ$ の長さは、

$$ \overset{\frown}{BQ} = R \times 2\beta = 2R\beta $$

となる。以上より、

$$ \overset{\frown}{PB} + \overset{\frown}{BQ} = 2R\alpha + 2R\beta = 2R(\alpha + \beta) = \overset{\frown}{PQ} $$

が成り立ち、題意は示された。

(ii)

円 $O_1$ と円 $O_2$ は半径が等しく、弦 $AB$ を共有している。直角三角形 $\triangle PAB$ と $\triangle QAB$ において、斜辺 $AP = AQ = 2R$ であり、辺 $AB$ を共有しているため、$\triangle PAB \equiv \triangle QAB$ である。したがって、$\angle PAB = \angle QAB$ となる。ここで、$\angle PAQ = \theta$ （$0 < \theta < \pi$）とおくと、

$$ \angle PAB = \angle QAB = \frac{\theta}{2} $$

である。

まず、$A, B$ で交わる2円の共通部分の面積 $S_1$ を求める。共通部分は、弦 $AB$ によって分割される2つの合同な弓形の和である。円 $O_1$ において、直角三角形 $\triangle PAB$ の内角より $\angle APB = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$ である。弦 $AB$ に対応する中心角は円周角 $\angle APB$ の2倍なので、$\pi - \theta$ となる。 1つの弓形の面積は、中心角 $\pi - \theta$ の扇形から二等辺三角形の面積を引いたものであるから、

$$ \frac{1}{2} R^2 (\pi - \theta) - \frac{1}{2} R^2 \sin(\pi - \theta) = \frac{1}{2} R^2 (\pi - \theta - \sin \theta) $$

となる。共通部分の面積 $S_1$ はその2倍であるから、

$$ S_1 = R^2 (\pi - \theta - \sin \theta) $$

である。

次に、斜線をほどこした部分の面積 $S_2$ を求める。斜線部分は弧 $PQ$, 弧 $PB$, 弧 $BQ$ で囲まれた領域である。3点 $P, B, Q$ は一直線上にあるため、この面積は「円 $A$ の弦 $PQ$ と弧 $PQ$ で囲まれた弓形」の面積から、「円 $O_1$ の弦 $PB$ と弧 $PB$ で囲まれた弓形」および「円 $O_2$ の弦 $BQ$ と弧 $BQ$ で囲まれた弓形」の面積を引いたものとして計算できる。

円 $A$ における弓形 $PQ$ の面積は、半径 $2R$、中心角 $\theta$ を用いて、

$$ \frac{1}{2} (2R)^2 \theta - \frac{1}{2} (2R)^2 \sin \theta = 2R^2(\theta - \sin \theta) $$

となる。円 $O_1$ における弓形 $PB$ について、中心角は円周角 $\angle PAB = \frac{\theta}{2}$ の2倍で $\theta$ である。したがって、弓形 $PB$ の面積は、

$$ \frac{1}{2} R^2 \theta - \frac{1}{2} R^2 \sin \theta = \frac{1}{2} R^2 (\theta - \sin \theta) $$

となる。弓形 $BQ$ の面積も同様に $\frac{1}{2} R^2 (\theta - \sin \theta)$ である。よって、斜線部分の面積 $S_2$ は、

$$ \begin{aligned} S_2 &= 2R^2(\theta - \sin \theta) - 2 \times \frac{1}{2} R^2 (\theta - \sin \theta) \\ &= R^2(\theta - \sin \theta) \end{aligned} $$

となる。

条件より $S_1 = S_2$ であるから、

$$ R^2 (\pi - \theta - \sin \theta) = R^2(\theta - \sin \theta) $$

が成り立つ。$R \neq 0$ より両辺を $R^2$ で割り、整理すると、

$$ \begin{aligned} \pi - \theta - \sin \theta &= \theta - \sin \theta \\ \pi - \theta &= \theta \\ 2\theta &= \pi \\ \theta &= \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

となる。したがって、求める角の大きさは $\frac{\pi}{2}$ （または $90^\circ$）である。