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名古屋大学 2017年文系第3問解説

方針・初手

(1) は単位分数の和に関する典型的な整数問題である。$a < b < c$ という大小関係を用いて、$\frac{1}{c} < \frac{1}{b} < \frac{1}{a}$ の不等式を作り、最も値が大きくなる $\frac{1}{a}$ の範囲を絞り込む。その後、残りの文字についても同様に範囲を絞るか、式を変形して約数の問題に帰着させる。

(2) は $p, q, r$ が $2n$ の約数であるという条件を、自然数 $a, b, c$ を用いて $p = \frac{2n}{a}, q = \frac{2n}{b}, r = \frac{2n}{c}$ と表すことで数式化する。これを $p + q + r = n$ に代入すると、(1) の方程式に帰着できることに着目する。

解法1

(1)

与えられた条件より、 $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} $$ $a < b < c$ より、 $$ \frac{1}{c} < \frac{1}{b} < \frac{1}{a} $$ が成り立つ。これを方程式に用いると、 $$ \frac{1}{2} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{3}{a} $$ したがって、$\frac{1}{2} < \frac{3}{a}$ より $a < 6$ を得る。

また、$a, b, c$ は自然数であり、$a < b < c$ より $a \geqq 1$ である。もし $a = 1, 2$ とすると、$\frac{1}{a} \geqq \frac{1}{2}$ となり、$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} > 0$ を満たす自然数 $b, c$ が存在しなくなるため不適。よって、$a = 3, 4, 5$ である。

(i) $a = 3$ のとき $$ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$ $\frac{1}{c} < \frac{1}{b}$ を用いると、 $$ \frac{1}{6} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{2}{b} $$ より $b < 12$。これと $a < b$ より、$4 \leqq b \leqq 11$ である。ここで、方程式を変形すると、 $$ \frac{1}{c} = \frac{1}{6} - \frac{1}{b} = \frac{b - 6}{6b} $$ $$ c = \frac{6b}{b - 6} = 6 + \frac{36}{b - 6} $$ $c$ は自然数であるから、$b - 6$ は $36$ の正の約数でなければならない。 $4 \leqq b \leqq 11$ より $-2 \leqq b - 6 \leqq 5$ であるため、条件を満たす正の約数 $b - 6$ は $1, 2, 3, 4$ のいずれかである。それぞれ計算すると、

$b - 6 = 1$ のとき $b = 7, c = 42$
$b - 6 = 2$ のとき $b = 8, c = 24$
$b - 6 = 3$ のとき $b = 9, c = 18$
$b - 6 = 4$ のとき $b = 10, c = 15$

これらはすべて $b < c$ を満たす。

(ii) $a = 4$ のとき $$ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $$ $\frac{1}{c} < \frac{1}{b}$ より $\frac{1}{4} < \frac{2}{b}$ すなわち $b < 8$ を得る。 $a < b$ より $5 \leqq b \leqq 7$ である。方程式を変形すると、 $$ c = \frac{4b}{b - 4} = 4 + \frac{16}{b - 4} $$ $c$ が自然数となるためには、$b - 4$ が $16$ の正の約数である必要がある。 $5 \leqq b \leqq 7$ より $1 \leqq b - 4 \leqq 3$ であり、条件を満たす $b - 4$ は $1, 2$ のみである。

$b - 4 = 1$ のとき $b = 5, c = 20$
$b - 4 = 2$ のとき $b = 6, c = 12$

これらも $b < c$ を満たす。

(iii) $a = 5$ のとき $$ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10} $$ $\frac{1}{c} < \frac{1}{b}$ より $\frac{3}{10} < \frac{2}{b}$ すなわち $b < \frac{20}{3} = 6.6\cdots$。 $a < b$ より $b = 6$ に限られる。このとき $\frac{1}{c} = \frac{3}{10} - \frac{1}{6} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ となるが、$c = \frac{15}{2}$ は自然数ではないため不適。

以上より、条件を満たす自然数の組 $(a, b, c)$ は、以下の6組である。 $$ (a, b, c) = (3, 7, 42), (3, 8, 24), (3, 9, 18), (3, 10, 15), (4, 5, 20), (4, 6, 12) $$

(2)

$p, q, r$ は偶数 $2n$ の正の約数であるから、自然数 $a, b, c$ を用いて $$ p = \frac{2n}{a}, \quad q = \frac{2n}{b}, \quad r = \frac{2n}{c} $$ と表すことができる。 $p > q > r$ より $a < b < c$ である。条件 $p + q + r = n$ に代入すると、 $$ \frac{2n}{a} + \frac{2n}{b} + \frac{2n}{c} = n $$ 両辺を $2n$ で割ると、 $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} $$ となる。したがって、$(a, b, c)$ は (1) で求めた6つの組のいずれかである。

ある組 $(a, b, c)$ に対して、$p, q, r$ が整数となる（すなわち $2n$ の約数としての条件を満たす）のは、$2n$ が $a, b, c$ の公倍数となるときである。（$a < b < c$ の関係から、$p > q > r$ は自動的に満たされる。） (1) で求めた6つの組における $a, b, c$ の最小公倍数 $L$ をそれぞれ求める。

$(3, 7, 42)$ のとき $L = 42$
$(3, 8, 24)$ のとき $L = 24$
$(3, 9, 18)$ のとき $L = 18$
$(3, 10, 15)$ のとき $L = 30$
$(4, 5, 20)$ のとき $L = 20$
$(4, 6, 12)$ のとき $L = 12$

関数 $f(n)$ の値は、$2n$ が上記の最小公倍数 $L$ の倍数となっているような組の個数に等しい。最大値 $M$ をとるのは、これら6つの組のすべてにおいて条件を満たすときであり、そのとき $M = 6$ となる。 $f(n) = 6$ となるための条件は、$2n$ が $42, 24, 18, 30, 20, 12$ すべての公倍数となることである。このような自然数 $n$ が最小となるのは、$2n$ がこれらの数の最小公倍数となるときである。各数を素因数分解すると、 $$ \begin{aligned} 12 &= 2^2 \cdot 3 \\ 18 &= 2 \cdot 3^2 \\ 20 &= 2^2 \cdot 5 \\ 24 &= 2^3 \cdot 3 \\ 30 &= 2 \cdot 3 \cdot 5 \\ 42 &= 2 \cdot 3 \cdot 7 \end{aligned} $$ であるから、最小公倍数は、素因数の最大の指数をとって $$ 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 2520 $$ となる。したがって、 $$ 2n = 2520 $$ より、$n = 1260$ である。

解説

(1) は不等式評価を用いて文字の範囲を絞り込む手法と、整数方程式を「$(\text{文字式}) = \text{定数}$」の形に変形して約数を探す手法を組み合わせた、整数問題の定石である。 (2) は「約数」という条件を「$\text{元の数} = \text{（整数）} \times \text{（約数）}$」と文字式で表現できるかどうかが問われている。これを和の式に代入することで自然に (1) の誘導に乗ることができる。最後の最小公倍数の計算は、素因数分解を正確に行って求める。