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名古屋大学 1964年理系第5問解説

方針・初手

円に内接する四角形において、辺や対角線の長さを直接扱う代わりに、それらが張る弧に対する円周角を用いると見通しが良くなる。弦の長さが等しいことと、対応する円周角が等しいこと（または和が $180^\circ$ になること）を関連付けて立式し、すべての三角形が二等辺三角形になるような角度の条件を絞り込む。

解法1

四角形 $\text{ABCD}$ が内接する円の半径を $R$ とする。円周は四角形の頂点によって4つの弧 $\text{AB}, \text{BC}, \text{CD}, \text{DA}$ に分割される。これらの弧に対する円周角をそれぞれ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ とおく。四角形は円に内接するため、以下の条件が成り立つ。

$$ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ \quad (\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0^\circ) $$

各辺および対角線の長さは、正弦定理より以下のように表される。

$$ \begin{aligned} \text{AB} &= 2R \sin \alpha \\ \text{BC} &= 2R \sin \beta \\ \text{CD} &= 2R \sin \gamma \\ \text{DA} &= 2R \sin \delta \\ \text{AC} &= 2R \sin (\alpha + \beta) = 2R \sin (\gamma + \delta) \\ \text{BD} &= 2R \sin (\beta + \gamma) = 2R \sin (\alpha + \delta) \end{aligned} $$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ の範囲において、$\sin \theta = \sin \phi$ となるのは $\theta = \phi$ または $\theta + \phi = 180^\circ$ のときである。これを踏まえ、$\triangle \text{ABC}$（辺の長さは $\text{AB}, \text{BC}, \text{AC}$）が二等辺三角形になる条件を考える。 $\text{AB} = \text{BC}$ のとき、$\alpha = \beta$ である。 $\text{AB} = \text{AC}$ のとき、$\alpha = \alpha + \beta$（$\beta = 0^\circ$ となり不適）または $\alpha + (\alpha + \beta) = 180^\circ$ である。後者は $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ$ より $\alpha = \gamma + \delta$ と同値である。同様に $\text{BC} = \text{AC}$ のときは $\beta = \gamma + \delta$ となる。したがって、各三角形が二等辺三角形になる条件は以下のようになる。

$\triangle \text{ABC}$ の条件: $$\alpha = \beta \quad \text{または} \quad \alpha = \gamma + \delta \quad \text{または} \quad \beta = \gamma + \delta$$

$\triangle \text{BCD}$ の条件: $$\beta = \gamma \quad \text{または} \quad \beta = \alpha + \delta \quad \text{または} \quad \gamma = \alpha + \delta$$

$\triangle \text{CDA}$ の条件: $$\gamma = \delta \quad \text{または} \quad \gamma = \alpha + \beta \quad \text{または} \quad \delta = \alpha + \beta$$

$\triangle \text{DAB}$ の条件: $$\delta = \alpha \quad \text{または} \quad \delta = \beta + \gamma \quad \text{または} \quad \alpha = \beta + \gamma$$

これらの条件を同時に満たす組 $(\alpha, \beta, \gamma, \delta)$ を探す。対称性から、以下の2つの場合に分けて考える。

(i) 隣り合う2つの円周角が等しい箇所がある場合一般性を失わず $\alpha = \beta$ とする。このとき $\triangle \text{BCD}$ の条件によってさらに場合分けする。

(i-a) $\beta = \gamma$ の場合 $\alpha = \beta = \gamma$ となる。$\triangle \text{CDA}$ の条件を考える。 $\gamma = \delta$ のとき、$\alpha = \beta = \gamma = \delta$ となり、和が $180^\circ$ であるからすべて $45^\circ$。これはすべての条件を満たす。 $\gamma = \alpha + \beta$ のとき、$\alpha = 2\alpha \implies \alpha = 0^\circ$ となり不適。 $\delta = \alpha + \beta$ のとき、$\delta = 2\alpha$。和の条件より $5\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 36^\circ, \delta = 72^\circ$。このとき $\triangle \text{DAB}$ の条件 $\delta = \beta + \gamma$（$72^\circ = 36^\circ + 36^\circ$）を満たす。よって $(\alpha, \beta, \gamma, \delta) = (36^\circ, 36^\circ, 36^\circ, 72^\circ)$ は適する。

(i-b) $\beta = \alpha + \delta$ の場合 $\alpha = \beta$ より $\alpha = \alpha + \delta \implies \delta = 0^\circ$ となり不適。

(i-c) $\gamma = \alpha + \delta$ の場合 $\alpha = \beta$ より $\gamma = \beta + \delta$。$\triangle \text{CDA}$ の条件を考える。 $\gamma = \delta$ のとき、$\delta = \beta + \delta \implies \beta = 0^\circ$ となり不適。 $\gamma = \alpha + \beta$ のとき、$\beta + \delta = 2\beta \implies \delta = \beta$。よって $\alpha = \beta = \delta, \gamma = 2\beta$。これは (i-a) で求めた解の並べ替えであり適する。 $\delta = \alpha + \beta$ のとき、$\delta = 2\beta, \gamma = 3\beta$。$\triangle \text{DAB}$ の条件について、$\delta = \alpha \implies 2\beta = \beta$（不適）、$\delta = \beta + \gamma \implies 2\beta = 4\beta$（不適）、$\alpha = \beta + \gamma \implies \beta = 4\beta$（不適）となり、いずれも満たさない。

(ii) 隣り合う2つの円周角が等しい箇所が一つもない場合 $\alpha \neq \beta, \beta \neq \gamma, \gamma \neq \delta, \delta \neq \alpha$ とする。 $\triangle \text{ABC}$ の条件より、対称性から $\alpha = \gamma + \delta$ としてよい。 $\triangle \text{BCD}$ の条件について $\beta \neq \gamma$ より以下の2通りを考える。 $\beta = \alpha + \delta$ のとき、$\beta = \gamma + 2\delta$。$\triangle \text{CDA}$ の条件について、$\gamma \neq \delta$ であり、$\gamma = \alpha + \beta \implies \gamma + 3\delta = 0^\circ$（不適）、$\delta = \alpha + \beta \implies 2\gamma + 2\delta = 0^\circ$（不適）。 $\gamma = \alpha + \delta$ のとき、$\gamma = (\gamma + \delta) + \delta \implies 2\delta = 0^\circ$（不適）。したがって、この場合は存在しない。

以上より、条件を満たす円周角の組は、すべてが等しい場合と、3つが等しく1つがその2倍になる場合に限られる。

すべて $45^\circ$ のとき、4辺の長さが等しくなるため四角形は 正方形 である。
$(36^\circ, 36^\circ, 36^\circ, 72^\circ)$ のとき、3辺の長さが等しく、内角は $108^\circ, 72^\circ, 72^\circ, 108^\circ$ となる。これは 3辺が等しく、内角が $108^\circ$ と $72^\circ$ である等脚台形（正五角形の隣り合う4頂点を結んだ四角形）である。

解説

「弦の長さ」をそのまま式で扱うとルートや2次式が複雑に絡み合いますが、円に内接するという性質を利用して「弧の円周角」に置き換えることで、和が $180^\circ$ というシンプルな1次方程式の体系に落とし込むことができます。 $\sin \theta = \sin \phi$ という関係から $\theta = \phi$ だけでなく $\theta + \phi = 180^\circ$ の可能性も引き出せるかが、すべての解を漏れなく見つけるための最大の鍵です。結果として現れる等脚台形が「正五角形の一部」であるという図形的な美しさも備えた良問です。