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名古屋大学 1965年文系第4問解説

方針・初手

線分 $CD$ の長さを1変数の関数として表し、その最大値を求める。角度 $\angle CAB = \theta$ とおいて三角関数を利用するか、直交座標系を設定して点 $C$ の座標を変数とするかのいずれかの方針が考えられる。三角形 $ACD$ が $AC = AD$ の二等辺三角形であることに着目すると、角度を用いた方が立式しやすい。

解法1

$\angle CAB = \theta$ とおく。点 $C$ が円 $O$ の周上を動くとき、図形の対称性から $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えてよい。

直角三角形 $ABC$ において、$\angle ACB = \frac{\pi}{2}$、斜辺 $AB = 2a$ であるから、

$$ AC = AB \cos \theta = 2a \cos \theta $$

円 $A$ の半径は $AC$ である。また、点 $D$ は円 $A$ と直径（線分）$AB$ の交点であるから、

$$ AD = AC = 2a \cos \theta $$

三角形 $ACD$ において余弦定理を用いると、

$$ CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2AC \cdot AD \cos \theta $$

$AC = AD$ であるから、次のように変形できる。

$$ CD^2 = 2AC^2 (1 - \cos \theta) $$

$$ CD^2 = 2 (2a \cos \theta)^2 (1 - \cos \theta) = 8a^2 \cos^2 \theta (1 - \cos \theta) $$

ここで、$x = \cos \theta$ とおくと、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より $0 \le x \le 1$ である。$CD^2$ を $x$ の関数として $f(x)$ とおく。

$$ f(x) = 8a^2 x^2 (1 - x) = 8a^2 (x^2 - x^3) $$

$x$ について微分すると、

$$ f'(x) = 8a^2 (2x - 3x^2) = 8a^2 x (2 - 3x) $$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, \frac{2}{3}$ のときである。$0 \le x \le 1$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{2}{3}$	$\cdots$	$1$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$0$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$0$

増減表より、$x = \frac{2}{3}$ のとき $f(x)$ は最大となる。このとき $CD^2$ の最大値は、

$$ f\left( \frac{2}{3} \right) = 8a^2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( 1 - \frac{2}{3} \right) = 8a^2 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{32}{27} a^2 $$

$CD \ge 0$ であるから、$CD^2$ が最大のとき $CD$ も最大となる。したがって、求める最大値は、

$$ CD = \sqrt{\frac{32}{27} a^2} = \frac{4\sqrt{6}}{9} a $$

解法2

点 $A$ を原点 $(0, 0)$ とし、点 $B$ を $x$ 軸の正の部分にとる直交座標系を設定する。

$AB = 2a$ であるから、$B$ の座標は $(2a, 0)$ となる。このとき、円 $O$ は中心 $(a, 0)$、半径 $a$ の円であるから、その方程式は、

$$ (x - a)^2 + y^2 = a^2 $$

展開して整理すると、

$$ x^2 + y^2 = 2ax $$

円周上の点 $C$ の座標を $(X, Y)$ とおく。ただし、$0 \le X \le 2a$ である。点 $C$ は円 $O$ 上にあるため、

$$ X^2 + Y^2 = 2aX $$

が成り立つ。

円 $A$ は中心が $A(0, 0)$、半径が $AC = \sqrt{X^2 + Y^2}$ である。点 $D$ は直径 $AB$ （$x$ 軸上の $0 \le x \le 2a$ の部分）と円 $A$ の交点であるから、点 $D$ の座標は $(\sqrt{X^2 + Y^2}, 0)$、すなわち $(\sqrt{2aX}, 0)$ と表せる。

したがって、線分 $CD$ の長さの2乗は、

$$ CD^2 = (X - \sqrt{2aX})^2 + Y^2 $$

$$ CD^2 = X^2 - 2X\sqrt{2aX} + 2aX + Y^2 $$

$X^2 + Y^2 = 2aX$ を代入して整理すると、

$$ CD^2 = 4aX - 2X\sqrt{2aX} = 4aX - 2\sqrt{2a} X^{\frac{3}{2}} $$

ここで $t = \sqrt{X}$ とおくと、$0 \le X \le 2a$ より $0 \le t \le \sqrt{2a}$ である。$CD^2$ を $t$ の関数として $g(t)$ とおく。

$$ g(t) = 4at^2 - 2\sqrt{2a} t^3 $$

$t$ について微分すると、

$$ g'(t) = 8at - 6\sqrt{2a} t^2 = 2t (4a - 3\sqrt{2a} t) $$

$g'(t) = 0$ とすると、$t = 0, \frac{4a}{3\sqrt{2a}} = \frac{2\sqrt{2a}}{3}$ である。

$0 \le t \le \sqrt{2a}$ における増減を調べると、$g(t)$ は $t = \frac{2\sqrt{2a}}{3}$ で極大かつ最大となる。このときの $g(t)$ の値は、

$$ g\left( \frac{2\sqrt{2a}}{3} \right) = 4a \left( \frac{8a}{9} \right) - 2\sqrt{2a} \left( \frac{16a\sqrt{2a}}{27} \right) = \frac{32}{9} a^2 - \frac{64}{27} a^2 = \frac{32}{27} a^2 $$

$CD \ge 0$ より、求める最大値は、

$$ CD = \sqrt{\frac{32}{27} a^2} = \frac{4\sqrt{6}}{9} a $$