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名古屋大学 2015年理系第4問解説

方針・初手

石の移動ルールにしたがって、各状態の確率の推移を追うことが基本となる。問題の試行は直前の状態のみに依存する（マルコフ連鎖）ため、漸化式を立てるか、順に計算することで確率を求められる。 (1) は試行回数が $n=6$ と少ないため、各ステップの確率を順次計算していくのが確実である。 (2) は「5つの点すべてに印がつく」という条件が、石の移動ルールから「点5に少なくとも1回到達する」ことと同値であることに着目し、余事象を利用して計算を簡略化する。 (3) は「ちょうど3つの点に印がつく」という条件を、「点1, 2, 3のみに到達し、点4には一度も到達しない」という事象の確率として捉え直し、特定の点を行き来する確率の差として求める方針をとる。

解法1

(1)

$n$ 回目の試行後に石が点 $k\ (k=1, 2, 3, 4, 5)$ にある確率を $P_n(k)$ とおく。初期状態では石は点1にあるため、

$$ P_0(1) = 1, \quad P_0(2) = P_0(3) = P_0(4) = P_0(5) = 0 $$

である。問題の移動ルールから、各点への推移は以下の式で表される。

$$ \begin{aligned} P_{n+1}(1) &= \frac{1}{2} P_n(2) \\ P_{n+1}(2) &= P_n(1) + \frac{1}{2} P_n(3) \\ P_{n+1}(3) &= \frac{1}{2} P_n(2) + \frac{1}{2} P_n(4) \\ P_{n+1}(4) &= \frac{1}{2} P_n(3) + P_n(5) \\ P_{n+1}(5) &= \frac{1}{2} P_n(4) \end{aligned} $$

これを $n=1$ から順に計算する。

$n=1$ のとき

$$ P_1(2) = 1 $$

（その他の確率は $0$、以下同様）

$n=2$ のとき

$$ P_2(1) = \frac{1}{2}, \quad P_2(3) = \frac{1}{2} $$

$n=3$ のとき

$$ \begin{aligned} P_3(2) &= 1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \\ P_3(4) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{4} \end{aligned} $$

$n=4$ のとき

$$ \begin{aligned} P_4(1) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} \\ P_4(3) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \\ P_4(5) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \end{aligned} $$

$n=5$ のとき

$$ \begin{aligned} P_5(2) &= 1 \cdot \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{8} \\ P_5(4) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \end{aligned} $$

$n=6$ のとき

$$ \begin{aligned} P_6(1) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{16} \\ P_6(3) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{2} \\ P_6(5) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \end{aligned} $$

よって、$n=6$ で石がいる確率が $0$ でないのは点1, 3, 5のみであり、点2, 4にいる確率は $0$ となる。

(2)

石は初期状態から隣り合う点に順にしか移動できない。したがって、「5つの点すべてに印がつく」ためには、点1からスタートして点5に少なくとも1回到達する必要がある。逆に、点5に到達していれば必ず点1, 2, 3, 4を通過しているため、求める確率は「6回目までに点5に1回以上到達する確率」と等しい。

ここで余事象「6回目までに点5に一度も到達しない」を考える。 $n$ 回目の試行後に点5に一度も到達せず、点 $k$ にいる確率を $Q_n(k)$ とする。推移の式は(1)と同様だが、点4から点5への移動を除外し、点1から点4の間だけで推移を計算する。

$$ \begin{aligned} Q_{n+1}(1) &= \frac{1}{2} Q_n(2) \\ Q_{n+1}(2) &= Q_n(1) + \frac{1}{2} Q_n(3) \\ Q_{n+1}(3) &= \frac{1}{2} Q_n(2) + \frac{1}{2} Q_n(4) \\ Q_{n+1}(4) &= \frac{1}{2} Q_n(3) \end{aligned} $$

$n=3$ までは点5に到達する可能性がないため、(1)と値は一致する。

$$ Q_3(2) = \frac{3}{4}, \quad Q_3(4) = \frac{1}{4} $$

$n=4$ のとき

$$ \begin{aligned} Q_4(1) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} \\ Q_4(3) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \\ Q_4(4) &= 0 \end{aligned} $$

$n=5$ のとき

$$ \begin{aligned} Q_5(2) &= 1 \cdot \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{8} \\ Q_5(4) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \end{aligned} $$

$n=6$ のとき

$$ \begin{aligned} Q_6(1) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{16} \\ Q_6(3) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{16} \end{aligned} $$

6回目までに点5に一度も到達しない確率は $Q_6(1) + Q_6(3) = \frac{5}{16} + \frac{7}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ となる。求める確率はその余事象の確率であるから、

$$ 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $$

(3)

「ちょうど3つの点に印がついている」状態とは、石が点1, 2, 3の範囲のみを移動し、かつ点3に到達したことがある状態である。すなわち、「$n$ 回目までに点4に一度も到達しない」事象から、「$n$ 回目までに点3に一度も到達しない」事象を取り除けばよい。

(ア) $n$ 回目までに点3に一度も到達しない確率 石は常に点1と点2の間のみを移動する。点1から点2への移動確率は $1$、点2から点1への移動確率は $\frac{1}{2}$ であるから、往復（2回の移動）で元の状態に戻る確率は $1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ である。 $n$ が偶数（$n=2m$、$m \geqq 1$）のとき、石は必ず点1にあり、その確率は $(\frac{1}{2})^m = (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}}$ である。 $n$ が奇数（$n=2m-1$、$m \geqq 1$）のとき、石は必ず点2にあり、その確率は $(\frac{1}{2})^{m-1} \cdot 1 = (\frac{1}{2})^{\frac{n-1}{2}}$ である。

(イ) $n$ 回目までに点4に一度も到達しない確率 石は常に点1, 2, 3の間のみを移動する。$n$ 回目の試行後に点 $k\ (k=1, 2, 3)$ にある確率を $R_n(k)$ とすると、推移は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} R_{n+1}(1) &= \frac{1}{2} R_n(2) \\ R_{n+1}(2) &= R_n(1) + \frac{1}{2} R_n(3) \\ R_{n+1}(3) &= \frac{1}{2} R_n(2) \end{aligned} $$

奇数回目には必ず点2にいるため、偶数回目について $R_{2m}(1) = \frac{1}{2} R_{2m-1}(2)$、$R_{2m}(3) = \frac{1}{2} R_{2m-1}(2)$ が成り立つ。これらを次の奇数回目の式に代入すると、

$$ R_{2m+1}(2) = R_{2m}(1) + \frac{1}{2} R_{2m}(3) = \frac{1}{2} R_{2m-1}(2) + \frac{1}{4} R_{2m-1}(2) = \frac{3}{4} R_{2m-1}(2) $$

数列 $\{R_{2m-1}(2)\}$ は、初項 $R_1(2) = 1$、公比 $\frac{3}{4}$ の等比数列となるため、

$$ R_{2m-1}(2) = \left(\frac{3}{4}\right)^{m-1} $$

$n$ が奇数（$n=2m-1$）のとき、点4に到達しない確率は石が点2にいる確率 $R_{2m-1}(2)$ そのものであるため、

$$ \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-1}{2}} $$

$n$ が偶数（$n=2m$）のとき、点4に到達しない確率は $R_{2m}(1) + R_{2m}(3)$ である。

$$ R_{2m}(1) + R_{2m}(3) = \frac{1}{2} R_{2m-1}(2) + \frac{1}{2} R_{2m-1}(2) = R_{2m-1}(2) = \left(\frac{3}{4}\right)^{m-1} = \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n}{2}-1} $$

(ウ) 求める確率 (イ)で求めた確率から(ア)で求めた確率を引く。

$n$ が奇数のとき

$$ \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-1}{2}} - \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n-1}{2}} $$

$n$ が偶数のとき

$$ \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n}{2}-1} - \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}} $$

（$n=1$ のとき、奇数の式は $0$ となり適する。$n=2$ のとき、偶数の式は $\frac{1}{2}$ となり適する）

解説

本問は、両端に反射壁または吸収壁を持つランダムウォークの確率モデルである。 (1)のように具体的な回数が与えられている場合は、試行ごとの確率を求めていくのが最もシンプルかつ確実な解法である。(2)(3)で用いたように、「特定の点に到達する確率」を求める際には、「その点へ到達する遷移をなくし、到達しないまま移動を続ける確率（余事象）」を考えるのが定石である。 (3)は「ちょうど3つの点」という条件を「最大到達点が点3である」と言い換えることが核心である。条件の言い換えさえできれば、(2)と同様に推移を制限した漸化式を解くことで正解にたどり着くことができる。