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大阪大学 1978年文系第2問解説

方針・初手

(1) 点が線分を直径とする円の内部または周上にある条件を、角度の条件（$90^\circ$ 以上であること）に言い換える。背理法を用いて、周りの3つの角の和が $360^\circ$ になることと矛盾を導く。

(2) 与えられたベクトル方程式の幾何学的な意味を考える。$\frac{\vec{b}-\vec{a}}{p}$ と $\frac{\vec{c}-\vec{a}}{q}$ はそれぞれ $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ と同じ向きの単位ベクトルであることに着目し、それらの和のベクトルがどのような向きになるかを考察する。

解法1

(1)

3角形の頂点を $A, B, C$ とする。

点 $P$ が辺 $BC$ を直径とする円に含まれる（内部または周上にある）ための条件は、

$$ \angle BPC \geqq 90^\circ $$

である。同様に、辺 $CA, AB$ を直径とする円に含まれるための条件は、それぞれ $\angle CPA \geqq 90^\circ, \angle APB \geqq 90^\circ$ となる。

点 $P$ は $\triangle ABC$ の内部にあるので、周りの角の和について

$$ \angle BPC + \angle CPA + \angle APB = 360^\circ $$

が成り立つ。また、点 $P$ が内部にあることから、これらの3つの角はいずれも $180^\circ$ 未満である。

ここで、点 $P$ が各辺を直径とする3つの円のうち、最大でも1つにしか含まれないと仮定する。

これは、$\angle BPC, \angle CPA, \angle APB$ のうち、少なくとも2つが $90^\circ$ 未満であることを意味する。一般性を失わず、$\angle BPC < 90^\circ$ かつ $\angle CPA < 90^\circ$ と仮定してよい。

このとき、残りの角 $\angle APB$ について

$$ \angle APB = 360^\circ - (\angle BPC + \angle CPA) > 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ) = 180^\circ $$

となるが、これは $\angle APB < 180^\circ$ であることに矛盾する。

したがって、背理法により、点 $P$ は各辺を直径とする3つの円のうち、少なくとも2つに含まれることが示された。

(2)

与えられた位置ベクトルを $\vec{r}$ とおく。

位置ベクトルの定義より、$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$, $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$ であり、問題の条件より $p = |\vec{AB}|, q = |\vec{AC}|$ である。

よって、与えられた式は次のように変形できる。

$$ \vec{r} = \vec{a} + t \left( \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} + \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|} \right) $$

ここで、$\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}$ と $\frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$ はそれぞれ、$\vec{AB}$ 方向、$\vec{AC}$ 方向の単位ベクトルである。

大きさが等しい2つのベクトルの和は、その2つのベクトルが作るひし形の対角線となるため、2つのベクトルがなす角の二等分線に平行なベクトルとなる。したがって、ベクトル $\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} + \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$ は、$\angle BAC$ の二等分線と同じ向きのベクトルである。

$\vec{r}$ は点 $A$ を始点とし、この角の二等分線の向きのベクトルを $t$ 倍したものを加えた位置ベクトルである。$t \geqq 0$ であるから、$\vec{r}$ を位置ベクトルとしてもつ点は、点 $A$ を端点とし、$\angle BAC$ を二等分する半直線上を動く。