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大阪大学 2001年文系第1問解説

方針・初手

三角形 $T(t)$ の各辺の方程式を求め、長方形 $R$ の領域である $1 \le x \le 2$ かつ $0 \le y \le 8$ との重なりを考える。

まず、$T(t)$ の頂点 $P$ の $y$ 座標の最大値を調べることで、$T(t)$ が長方形 $R$ の上端 $y=8$ をはみ出さないことを確認する。これにより、共通部分の面積は単純に $1 \le x \le 2$ における $T(t)$ の面積に帰着できる。

その後は、$T(t)$ の頂点 $P$ の $x$ 座標である $t$ と、長方形 $R$ の $x$ 座標の範囲 $1 \le x \le 2$ の位置関係によって場合分けを行い、定積分を用いて面積 $f(t)$ を計算する。

解法1

(1)

長方形 $R$ は $1 \le x \le 2$ かつ $0 \le y \le 8$ の領域である。

三角形 $T(t)$ の頂点は $O(0, 0)$、$E(4, 0)$、$P(t, 8t - 2t^2)$ である。

点 $P$ の $y$ 座標を平方完成すると、以下のようになる。

$$ 8t - 2t^2 = -2(t - 2)^2 + 8 $$

$0 < t < 4$ において、点 $P$ の $y$ 座標は最大で $8$（$t=2$ のとき）であり、常に $8$ 以下である。また、$0 < t < 4$ のとき $8t - 2t^2 > 0$ であるため、三角形 $T(t)$ は常に直線 $y=8$ と $x$ 軸の間に収まる。

したがって、$R$ の内部と $T(t)$ の内部との共通部分は、$1 \le x \le 2$ の区間における $T(t)$ の領域そのものである。

$T(t)$ の上側の境界線を表す関数を $y = g(x)$ とする。辺 $OP$ と辺 $PE$ の直線の方程式をそれぞれ求めると、$g(x)$ は次のように表される。

$$ g(x) = \begin{cases} \frac{8t - 2t^2}{t} x = (8 - 2t)x & (0 \le x \le t) \\ \frac{0 - (8t - 2t^2)}{4 - t} (x - 4) = -2t(x - 4) & (t \le x \le 4) \end{cases} $$

求める面積 $f(t)$ は、区間 $[1, 2]$ における $g(x)$ の定積分により得られる。$t$ の値によって $1 \le x \le 2$ における $g(x)$ の式が変わるため、以下の3つの場合分けを行う。

(i)

$0 < t \le 1$ のとき

区間 $1 \le x \le 2$ において、$x \ge t$ であるから $g(x) = -2t(x - 4)$ である。

$$ \begin{aligned} f(t) &= \int_{1}^{2} -2t(x - 4) dx \\ &= -2t \left[ \frac{1}{2}x^2 - 4x \right]_{1}^{2} \\ &= -2t \left\{ \left( \frac{4}{2} - 8 \right) - \left( \frac{1}{2} - 4 \right) \right\} \\ &= -2t \left( -6 + \frac{7}{2} \right) \\ &= -2t \left( -\frac{5}{2} \right) \\ &= 5t \end{aligned} $$

(ii)

$1 < t \le 2$ のとき

区間 $[1, 2]$ の途中で $g(x)$ の式が切り替わる。$1 \le x \le t$ では $g(x) = (8 - 2t)x$、$t \le x \le 2$ では $g(x) = -2t(x - 4)$ である。

$$ \begin{aligned} f(t) &= \int_{1}^{t} (8 - 2t)x dx + \int_{t}^{2} -2t(x - 4) dx \\ &= (8 - 2t) \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{1}^{t} - 2t \left[ \frac{1}{2}x^2 - 4x \right]_{t}^{2} \\ &= (4 - t)(t^2 - 1) - 2t \left\{ -6 - \left( \frac{1}{2}t^2 - 4t \right) \right\} \\ &= (-t^3 + 4t^2 + t - 4) + (t^3 - 8t^2 + 12t) \\ &= -4t^2 + 13t - 4 \end{aligned} $$

(iii)

$2 < t < 4$ のとき

区間 $1 \le x \le 2$ において、$x \le t$ であるから $g(x) = (8 - 2t)x$ である。

$$ \begin{aligned} f(t) &= \int_{1}^{2} (8 - 2t)x dx \\ &= (8 - 2t) \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{1}^{2} \\ &= (8 - 2t) \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) \\ &= (8 - 2t) \cdot \frac{3}{2} \\ &= 12 - 3t \end{aligned} $$

以上より、$f(t)$ が求まる。

(2)

(1) で求めた $f(t)$ について、各区間での最大値を調べる。

(i)

$0 < t \le 1$ のとき

$f(t) = 5t$ は単調増加であるから、この区間における最大値は $t=1$ のときの $5$ である。

(ii)

$1 \le t \le 2$ のとき

$f(t)$ を平方完成する。

$$ \begin{aligned} f(t) &= -4t^2 + 13t - 4 \\ &= -4 \left( t^2 - \frac{13}{4}t \right) - 4 \\ &= -4 \left( t - \frac{13}{8} \right)^2 + 4 \cdot \left( \frac{13}{8} \right)^2 - 4 \\ &= -4 \left( t - \frac{13}{8} \right)^2 + \frac{169}{16} - \frac{64}{16} \\ &= -4 \left( t - \frac{13}{8} \right)^2 + \frac{105}{16} \end{aligned} $$

頂点の $t$ 座標 $\frac{13}{8}$ は区間 $1 \le t \le 2$ に含まれる。よって、この区間における最大値は $t = \frac{13}{8}$ のときの $\frac{105}{16}$ である。

(iii)

$2 \le t < 4$ のとき

$f(t) = 12 - 3t$ は単調減少であるから、この区間における最大値は $t=2$ のときの $6$ である。

全体を通した最大値は、各区間の最大値の比較により決定される。

$$ 5 = \frac{80}{16}, \quad 6 = \frac{96}{16} $$

であるから、$\frac{105}{16} > 6 > 5$ が成り立つ。したがって、全体を通した最大値は $\frac{105}{16}$ である。

解説

2つの図形の共通部分の面積を求める問題である。この問題の最大のポイントは、三角形 $T(t)$ の頂点 $P$ の $y$ 座標の最大値が $8$ であることに気づき、$T(t)$ が長方形 $R$ の上端 $y=8$ を突き抜けないことを確認することである。これが分かれば、上限を考慮する煩雑な場合分けが不要になる。

その上で、積分区間 $[1, 2]$ に対して、被積分関数である折れ線の頂点 $x=t$ がどこにあるかで $t$ の場合分けを行う。積分を用いずに台形の面積公式から導出することも可能であり、計算ミスの確認として別のアプローチを持っておくと安全である。境界となる $t=1$ や $t=2$ で式が連続しているかを確認する習慣もつけておく。