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大阪大学 2001年文系第2問解説

方針・初手

問題で与えられている複素数 $z_k$ は、空間ベクトル $\vec{x}, \vec{y}$ の各成分をそれぞれ実部と虚部に持つように定義されている。まずは $z_k^2$ の計算を実行し、和をとることでベクトルの大きさや内積（$r, s, \theta$ を用いた式）が現れることを確認する。

その後は、複素数の積の性質をそのまま利用して全体の関係式から結論を導くか、複素数を成分表示に戻してベクトルの演算として直接計算するかの2通りのアプローチが考えられる。(1) が複素数の2乗和を計算させる誘導になっているため、(2) も複素数の性質を用いた方が計算量を減らすことができる。

解法1

(1)

与えられた複素数 $z_k = x_k + y_k i$ について、$z_k^2$ を計算すると

$$ z_k^2 = (x_k + y_k i)^2 = x_k^2 - y_k^2 + 2x_k y_k i $$

となる。これを $k = 1, 2, 3$ について足し合わせると

$$ z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) - (y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) + 2(x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3) i $$

ここで、ベクトルの大きさと内積の定義より

$$ \begin{aligned} x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 &= |\vec{x}|^2 = r^2 \\ y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 &= |\vec{y}|^2 = s^2 \\ x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 &= \vec{x} \cdot \vec{y} = r s \cos\theta \end{aligned} $$

であるから、代入して整理すると

$$ z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = r^2 - s^2 + 2rs(\cos\theta)i $$

となる。

(2)

$\vec{x}$ と $\vec{y}$ の大きさが等しく、互いに垂直であるという仮定より、$r = s$ かつ $\theta = 90^\circ$ である。 $\cos 90^\circ = 0$ であるから、(1) の結果を用いると

$$ z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0 $$

が成り立つ。

次に、$w_k = (\sqrt{3} + i)z_k$ の両辺を2乗すると

$$ w_k^2 = (\sqrt{3} + i)^2 z_k^2 = (3 - 1 + 2\sqrt{3}i)z_k^2 = (2 + 2\sqrt{3}i)z_k^2 $$

となる。これを $k = 1, 2, 3$ について足し合わせると

$$ w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 = (2 + 2\sqrt{3}i)(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2) = 0 $$

一方、$w_k = u_k + v_k i$ であるから、(1) と全く同様の計算により

$$ w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 = |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v})i $$

と表せる。したがって

$$ |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v})i = 0 $$

実部と虚部を比較して

$$ |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 = 0 $$

$$ 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 0 $$

これより $|\vec{u}| = |\vec{v}|$ かつ $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ となる。

また、$w_k = (\sqrt{3} + i)z_k$ において絶対値をとると $|w_k|^2 = 4|z_k|^2$ である。辺々足し合わせると

$$ \sum_{k=1}^3 (u_k^2 + v_k^2) = 4 \sum_{k=1}^3 (x_k^2 + y_k^2) $$

$$ |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 = 4(|\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2) $$

$|\vec{x}| = r > 0$ であるから、$|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 > 0$ となり、$\vec{u}, \vec{v}$ は零ベクトルではない。以上より、$\vec{u}$ と $\vec{v}$ は大きさが等しく、たがいに垂直であることが示された。

(3)

$w_k = (\sqrt{3} + i)z_k$ を成分で計算すると

$$ u_k + v_k i = (\sqrt{3} + i)(x_k + y_k i) = (\sqrt{3}x_k - y_k) + (x_k + \sqrt{3}y_k)i $$

実部を比較して $u_k = \sqrt{3}x_k - y_k$ となるため、ベクトル $\vec{u}$ は

$$ \vec{u} = \sqrt{3}\vec{x} - \vec{y} $$

と表される。ここで $\vec{x}$ と $\vec{u}$ の内積を計算すると

$$ \vec{x} \cdot \vec{u} = \vec{x} \cdot (\sqrt{3}\vec{x} - \vec{y}) = \sqrt{3}|\vec{x}|^2 - \vec{x} \cdot \vec{y} $$

(2) の仮定より $|\vec{x}| = r, \vec{x} \cdot \vec{y} = 0$ であるから

$$ \vec{x} \cdot \vec{u} = \sqrt{3}r^2 $$

また、$\vec{u}$ の大きさは

$$ |\vec{u}|^2 = | \sqrt{3}\vec{x} - \vec{y} |^2 = 3|\vec{x}|^2 - 2\sqrt{3}\vec{x} \cdot \vec{y} + |\vec{y}|^2 = 3r^2 - 0 + r^2 = 4r^2 $$

より $|\vec{u}| = 2r$ である。 $\vec{x}$ と $\vec{u}$ のなす角を $\phi$ ($0^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ$) とすると

$$ \cos\phi = \frac{\vec{x} \cdot \vec{u}}{|\vec{x}||\vec{u}|} = \frac{\sqrt{3}r^2}{r \cdot 2r} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

よって、$\phi = 30^\circ$ である。

解法2

(2) において、複素数の2乗和を経由せずに直接ベクトルの成分計算から証明する方法を示す。

(2)

解法1の (3) で示した通り、$w_k = (\sqrt{3} + i)(x_k + y_k i)$ の実部と虚部を比較することで

$$ u_k = \sqrt{3}x_k - y_k $$

$$ v_k = x_k + \sqrt{3}y_k $$

を得る。したがって、ベクトル $\vec{u}, \vec{v}$ は $\vec{x}, \vec{y}$ を用いて

$$ \vec{u} = \sqrt{3}\vec{x} - \vec{y} $$

$$ \vec{v} = \vec{x} + \sqrt{3}\vec{y} $$

と表せる。 (2)の仮定より $|\vec{x}| = |\vec{y}| = r$, $\vec{x} \cdot \vec{y} = 0$ であるから、$\vec{u}$ と $\vec{v}$ の大きさの2乗はそれぞれ

$$ |\vec{u}|^2 = 3|\vec{x}|^2 - 2\sqrt{3}\vec{x} \cdot \vec{y} + |\vec{y}|^2 = 3r^2 - 0 + r^2 = 4r^2 $$

$$ |\vec{v}|^2 = |\vec{x}|^2 + 2\sqrt{3}\vec{x} \cdot \vec{y} + 3|\vec{y}|^2 = r^2 + 0 + 3r^2 = 4r^2 $$

となる。したがって $|\vec{u}|^2 = |\vec{v}|^2$ であり、大きさは等しい。また、内積 $\vec{u} \cdot \vec{v}$ を計算すると

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (\sqrt{3}\vec{x} - \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \sqrt{3}\vec{y}) = \sqrt{3}|\vec{x}|^2 + 3\vec{x} \cdot \vec{y} - \vec{y} \cdot \vec{x} - \sqrt{3}|\vec{y}|^2 = \sqrt{3}r^2 + 0 - 0 - \sqrt{3}r^2 = 0 $$

よって $\vec{u} \perp \vec{v}$ である。 $r > 0$ より $4r^2 > 0$ であるから $\vec{u}, \vec{v}$ はいずれも零ベクトルではない。以上より、$\vec{u}$ と $\vec{v}$ は大きさが等しく、たがいに垂直である。

解説

2つの空間ベクトルを組み合わせて複素数の数列を作り、その性質を調べるというユニークな設定の問題である。 (1) で複素数の2乗和が $|\vec{x}|^2 - |\vec{y}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y})i$ になることに気付けるかが最大のポイントである。複素数の積が複素平面上の回転と拡大縮小を表すことと関連付けて考えると、条件が保たれる理由を見通すことができる。 (2) は解法2のように実数ベクトルの計算として処理した方が直感的に分かりやすい受験生も多いだろう。(3) については、どちらの解法を選んだとしても $\vec{u}$ を $\vec{x}$ と $\vec{y}$ の線形結合で表す必要があるため、計算量はそれほど変わらない。