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大阪大学 1962年理系第1問解説

方針・初手

四角形 $ABCD$ が円 $O$ に内接し、点 $O$ を内部に含むことから、4つの辺に対する中心角の和が $360^\circ$ になることを利用して、未知の中心角 $\angle COD$ の大きさを決定します。その後、円周角の定理や三角形の外角の性質を用いて直線 $AD$ と $BC$ の交角 $\angle P$ を求めると、これが一定値になることが分かります。$\angle P$ が定まれば、$\triangle PAB$ において正弦定理を用いることで、線分 $AP$ の長さを1つの変数の関数として表すことができ、最大値を求めることができます。

解法1

円の半径を $R$ とする。$\triangle OAB$ は $OA=OB=R$ の二等辺三角形であり、$\angle AOB = 60^\circ$ であるから正三角形となる。したがって、弦 $AB$ の長さは $AB=R$ である。

$\angle BOC = \beta$、$\angle COD = \gamma$、$\angle DOA = \delta$ とおく。四角形 $ABCD$ が点 $O$ を内部に含むため、各辺に対する中心角の和は $360^\circ$ となる。

$$ 60^\circ + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ $$

条件 (2) より $\angle AOD + \angle BOC = \delta + \beta = 180^\circ$ であるから、これを代入すると、

$$ 60^\circ + 180^\circ + \gamma = 360^\circ $$

$$ \gamma = 120^\circ $$

次に、直線 $AD$ と $BC$ の交点 $P$ の位置関係を調べる。円周角の定理より、弦 $DB$ に対する円周角と弦 $AC$ に対する円周角はそれぞれ以下のようになる。

$$ \angle DAB = \frac{1}{2}(\gamma + \beta) = \frac{1}{2}(120^\circ + \beta) = 60^\circ + \frac{\beta}{2} $$

$$ \angle CBA = \frac{1}{2}(\delta + \gamma) = \frac{1}{2}(\delta + 120^\circ) = 60^\circ + \frac{\delta}{2} $$

四角形 $ABCD$ の内角 $\angle DAB$ と $\angle CBA$ の和をとると、

$$ \angle DAB + \angle CBA = \left(60^\circ + \frac{\beta}{2}\right) + \left(60^\circ + \frac{\delta}{2}\right) = 120^\circ + \frac{\beta + \delta}{2} $$

$\beta + \delta = 180^\circ$ であるから、

$$ \angle DAB + \angle CBA = 120^\circ + 90^\circ = 210^\circ > 180^\circ $$

この和が $180^\circ$ を超えるため、直線 $AD$ と $BC$ は線分 $CD$ 側ではなく線分 $AB$ 側で交わる。すなわち、点 $P, A, D$ および点 $P, B, C$ の順に並ぶ。

ここで、点 $A$ と $C$ を結んで $\triangle PAC$ を考える。点 $D$ は線分 $PA$ の延長線上にあるため、$\angle DAC$ は $\triangle PAC$ の頂点 $A$ における外角である。三角形の外角の性質より、

$$ \angle P + \angle PCA = \angle DAC $$

円周角の定理より、弧 $CD$ と弧 $AB$ に対する円周角はそれぞれ中心角の半分となるため、

$$ \angle DAC = \frac{1}{2} \angle DOC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ $$

$$ \angle PCA = \angle BCA = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $$

これらを外角の式に代入すると、

$$ \angle P + 30^\circ = 60^\circ $$

$$ \angle P = 30^\circ $$

したがって、$\angle APB = 30^\circ$ で一定であることが分かる。

次に、$\triangle PAB$ において正弦定理を適用する。

$$ \frac{AP}{\sin \angle PBA} = \frac{AB}{\sin \angle P} $$

$AB = R$、$\angle P = 30^\circ$ より、

$$ AP = \frac{R}{\sin 30^\circ} \sin \angle PBA = 2R \sin \angle PBA $$

ここで、点 $P, B, C$ がこの順に一直線上に並ぶため、

$$ \angle PBA = 180^\circ - \angle CBA = 180^\circ - \left(60^\circ + \frac{\delta}{2}\right) = 120^\circ - \frac{\delta}{2} $$

点 $O$ が四角形 $ABCD$ の内部にあるため、$\delta > 0^\circ$ である。したがって $120^\circ - \frac{\delta}{2} < 120^\circ$ となる。線分 $AP$ が最大になるのは、$\sin \angle PBA$ が最大値をとるとき、すなわち $\angle PBA = 90^\circ$ のときである。

$$ 120^\circ - \frac{\delta}{2} = 90^\circ $$

$$ \frac{\delta}{2} = 30^\circ $$

$$ \delta = 60^\circ $$

このとき、$\beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ となり、各辺の中心角はいずれも $180^\circ$ 未満で正となるため、図形的な成立条件も満たしている。よって、線分 $AP$ が最大になるのは $\angle AOD = 60^\circ$ のときである。

解説

「円に内接し、中心を内部に含む四角形」という条件から、4つの中心角の和が $360^\circ$ になるという関係式を立てるのが第一歩です。これにより、弦 $CD$ に対する中心角が $120^\circ$ で一定であることが導かれます。
第2の山場は、交角 $\angle P$ の大きさを求める部分です。円の割線が外側で交わるとき、その交角は「（遠い方の弧の中心角 $-$ 近い方の弧の中心角）$\div 2$」となる性質（本解説では外角を利用して証明しています）を用いると、$\angle P = 30^\circ$ と一定になることが鮮やかに示せます。
$\angle P$ さえ分かれば、あとは $\triangle PAB$ に正弦定理を適用するだけです。$AP$ の長さを1つの変数 $\delta$ の関数に帰着させることで、容易に最大値を導くことができます。交点 $P$ が $AB$ 側にあることを確認する手順を踏むことで、論理的に隙のない解答になります。