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東北大学 2012年理系第5問解説

方針・初手

円周 $C$ は $AB$ を直径とするので，まず円周角の定理から $\angle APB=\pi/2$ を用いる。すると，直角三角形 $ABP$ で $x=BP$ と他の辺・角の関係が出る。

さらに，$Q$ は $AB$ 上にあるから，三角形 $BPQ$ に正弦定理を適用すると $y$ を $x$ で表せる。最大値は，$\angle ABP$ を媒介変数にして整理すると計算しやすい。

解法1

(1)

円周 $C$ は $AB$ を直径とするから，円周角の定理より

$$ \angle APB=\frac{\pi}{2} $$

である。

したがって，直角三角形 $ABP$ において $AB=1,\ BP=x$ なので，

$$ AP=\sqrt{1-x^2} $$

となる。

ここで

$$ \theta=\angle ABP $$

とおくと，

$$ \cos\theta=\frac{BP}{AB}=x,\qquad \sin\theta=\frac{AP}{AB}=\sqrt{1-x^2} $$

である。

また，$Q$ は線分 $AB$ 上にあるから，

$$ \angle PBQ=\angle PBA=\theta $$

である。三角形 $BPQ$ で $\angle BPQ=\pi/3$ だから，正弦定理より

$$ \frac{y}{\sin\theta} ==================== \frac{x}{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)} $$

となる。よって

$$ y = \frac{x\sin\theta}{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)} $$

であり，$\sin\theta=\sqrt{1-x^2},\ \cos\theta=x$ を代入すると，

$$ \begin{aligned} y &= \frac{x\sqrt{1-x^2}} {\frac12\sqrt{1-x^2}+\frac{\sqrt3}{2}x} \\ &= \frac{2x\sqrt{1-x^2}} {\sqrt{1-x^2}+\sqrt3,x}. \end{aligned} $$

したがって，

$$ y=\frac{2x\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt3,x} $$

である。

(2)

（1）で用いた $\theta=\angle ABP$ をそのまま用いる。$0<\theta<\pi/2$ であり，

$$ x=\cos\theta $$

である。

さらに

$$ t=\tan\theta \qquad (t>0) $$

とおくと，

$$ x=\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} $$

である。また（1）の式を $\theta$ で書き直すと

$$ y = \frac{\cos\theta\sin\theta}{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)} $$

であるから，

$$ \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) ===================================== \frac{t+\sqrt3}{2\sqrt{1+t^2}} $$

を用いて

$$ y= \frac{2t}{(t+\sqrt3)\sqrt{1+t^2}} $$

となる。ここで

$$ Y(t)=\frac{2t}{(t+\sqrt3)\sqrt{1+t^2}} $$

とおけば，

$$ Y'(t)= \frac{2(\sqrt3-t^3)} {(t+\sqrt3)^2(1+t^2)^{3/2}} $$

である。

分母は常に正であるから，

$$ Y'(t) \begin{cases} > 0 & (0<t<\sqrt[6]{3}) \\ > =0 & (t=\sqrt[6]{3}) \\ > <0 & (t>\sqrt[6]{3}) > \end{cases} > $$

となる。したがって，$y$ は

$$ t=\sqrt[6]{3} $$

のとき最大である。

このとき

$$ x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} ======================== \frac{1}{\sqrt{1+\sqrt[3]{3}}} $$

となる。

よって，$y$ が最大となるのは

$$ x=\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt[3]{3}}} $$

のときである。

解説

この問題の本質は，直径に対する円周角から $\angle APB=\pi/2$ を見抜くことである。これにより，$x=BP$ から $AP=\sqrt{1-x^2}$ が直ちに出る。

そのうえで，$Q$ が $AB$ 上にあることから $\angle PBQ=\angle PBA$ と分かるので，三角形 $BPQ$ に正弦定理を使えば $y$ を自然に表せる。最大値の処理は，$x$ のまま微分するよりも，$\theta=\angle ABP$，さらに $t=\tan\theta$ と置いて整理したほうが計算が素直である。