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大阪大学 1984年理系第5問解説

方針・初手

(1) では、取り出した $k$ 個の玉の最大値が $i$ となるための条件を整理する。「最大値が $i$」ということは、「番号 $i$ の玉が必ず選ばれ、かつ、残りの $k-1$ 個の玉はすべて $i$ 未満（すなわち $1$ から $i-1$ まで）の番号から選ばれる」と言い換えることができる。

(2) の前半は、連続する整数の積の和を求める問題である。隣り合う項の差（階差）を作り出して和をとることで、途中の項が次々と打ち消し合う形（望遠鏡和）を利用する。後半の期待値計算では、定義式に従って和の式を立てた後、(1) で求めた確率の式を展開し、前半で証明した等式が使えるように変数を置き換えることがポイントとなる。

解法1

(1) $n$ 個の玉から $k$ 個を取り出す場合の数は ${}_n\mathrm{C}_{k}$ 通りであり、これらは同様に確からしい。

取り出した玉の最大の番号 $X$ が $i$ となるのは、番号 $i$ の玉を取り出し、かつ、残りの $k-1$ 個の玉を $1$ から $i-1$ までの番号が付いた $i-1$ 個の玉の中から取り出す場合である。

このような取り出し方が存在するためには、$i-1 \geqq k-1$ すなわち $i \geqq k$ である必要がある。このとき、選び方は ${}_{i-1}\mathrm{C}_{k-1}$ 通りである。

したがって、求める確率 $p_i$ は以下のようになる。 $k \leqq i \leqq n$ のとき、

$$ p_i = \frac{{}_{i-1}\mathrm{C}_{k-1}}{{}_n\mathrm{C}_{k}} $$

$1 \leqq i \leqq k-1$ のとき、

$$ p_i = 0 $$

(2) 前半の等式を証明する。右辺の分子を参考に、$f(i) = i(i+1)\cdots(i+l)$ とおき、$f(i) - f(i-1)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} f(i) - f(i-1) &= i(i+1)\cdots(i+l-1)(i+l) - (i-1)i(i+1)\cdots(i+l-1) \\ &= i(i+1)\cdots(i+l-1) \{ (i+l) - (i-1) \} \\ &= (l+1) i(i+1)\cdots(i+l-1) \end{aligned} $$

これより、次式が成り立つ。

$$ i(i+1)\cdots(i+l-1) = \frac{1}{l+1} \{ f(i) - f(i-1) \} $$

両辺について $i=1$ から $m$ までの和をとると、

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{m} i(i+1)\cdots(i+l-1) &= \frac{1}{l+1} \sum_{i=1}^{m} \{ f(i) - f(i-1) \} \\ &= \frac{1}{l+1} \{ ( f(1) - f(0) ) + ( f(2) - f(1) ) + \cdots + ( f(m) - f(m-1) ) \} \\ &= \frac{1}{l+1} \{ f(m) - f(0) \} \end{aligned} $$

ここで $f(0) = 0 \cdot 1 \cdots l = 0$ であるから、

$$ \sum_{i=1}^{m} i(i+1)\cdots(i+l-1) = \frac{1}{l+1} f(m) = \frac{m(m+1)\cdots(m+l)}{l+1} $$

となり、題意の等式が示された。

次に、$X$ の期待値 $E(X)$ を求める。期待値の定義より、

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} i \cdot p_i = \sum_{i=k}^{n} i \frac{{}_{i-1}\mathrm{C}_{k-1}}{{}_n\mathrm{C}_{k}} $$

組み合わせの定義を用いて ${}_{i-1}\mathrm{C}_{k-1}$ を書き換えると、

$$ i \cdot {}_{i-1}\mathrm{C}_{k-1} = i \cdot \frac{(i-1)(i-2)\cdots(i-k+1)}{(k-1)!} = \frac{(i-k+1)(i-k+2)\cdots(i-1)i}{(k-1)!} $$

したがって、期待値の式は次のように変形できる。

$$ E(X) = \frac{1}{(k-1)! \cdot {}_n\mathrm{C}_{k}} \sum_{i=k}^{n} (i-k+1)(i-k+2)\cdots(i-1)i $$

シグマの和の部分について、$j = i-k+1$ と変数変換を行う。$i$ が $k$ から $n$ まで動くとき、$j$ は $1$ から $n-k+1$ まで動くので、

$$ \sum_{i=k}^{n} (i-k+1)(i-k+2)\cdots i = \sum_{j=1}^{n-k+1} j(j+1)\cdots(j+k-1) $$

となる。これは前半で証明した等式において、$l=k$、$m=n-k+1$ としたものに等しい。等式を適用すると、

$$ \sum_{j=1}^{n-k+1} j(j+1)\cdots(j+k-1) = \frac{(n-k+1)(n-k+2)\cdots(n-k+1+k)}{k+1} = \frac{(n-k+1)(n-k+2)\cdots(n+1)}{k+1} $$

これと ${}_n\mathrm{C}_{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ を $E(X)$ の式に代入して計算する。

$$ \begin{aligned} E(X) &= \frac{1}{(k-1)!} \cdot \frac{k!}{n(n-1)\cdots(n-k+1)} \cdot \frac{(n-k+1)\cdots n(n+1)}{k+1} \\ &= \frac{k!}{(k-1)!} \cdot \frac{1}{k+1} \cdot \frac{(n-k+1)\cdots n(n+1)}{n(n-1)\cdots(n-k+1)} \\ &= k \cdot \frac{1}{k+1} \cdot (n+1) \\ &= \frac{k(n+1)}{k+1} \end{aligned} $$

解説

最大値を確率変数とする期待値計算の典型問題である。 (1) では「最大値が $i$」という事象の捉え方が重要である。特定の値が最大値となる場合、その値自身を必ず含み、他の要素はその値未満から選ばれるという事実を利用する。

(2) 前半は「連続する整数の積の和」の公式の証明であり、数列の分野においてよく知られた階差の利用法である。問題文で誘導されているため、それに忠実に乗ることが求められる。後半の期待値計算では、和の記号 $\sum$ の中で使われている変数 $i$ のままでは誘導の等式に当てはめられない。そこで、積の最小の因子が $1$ になるように $j = i-k+1$ と変数を置き換える発想が必要となる。

なお、期待値の計算は $i \cdot {}_{i-1}\mathrm{C}_{k-1} = k \cdot {}_i\mathrm{C}_{k}$ という性質を用いて $\sum {}_i\mathrm{C}_{k}$ の形を作り、パスカルの三角形から導かれる公式 $\sum_{i=k}^{n} {}_i\mathrm{C}_{k} = {}_{n+1}\mathrm{C}_{k+1}$ を利用して解くことも可能だが、本問では指定された等式を用いるのが出題意図に沿った解法である。